第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

1122,.m m A k kAa b aA bEAA A A Aλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 α是A 关于λ的特征向量，则α也是上述多项式的特征向量。

推论：（1）对于数量矩阵λE ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是λ.（2）上三角、下三角、对角矩阵的特征值即对角线上的各元素.（3）n 阶矩阵A 与他的转置矩阵TA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同.例 题一、特征值、特征向量1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031141,201034011B A 且A 的特征值为2和1(二重), 那么B 特征值。

解：TA A ,具有相同的特征值.T AB =, 所以B 和A 具有相同的特征值，B 的特征值为: 2和1(二重)。

2.设A 是n 阶方阵, *A 为A 的伴随矩阵, |A | = 5, 则方阵*AA B =的特征值是___, 特征向量是______.解：因为 E A A A AA ||**==, 所以对于任意n 维向量αααα||||*A E A AA ==有 所以|A | = 5是*AA B =的特征值, 任意n 维向量α 为对应的特征向量。

3.三阶方阵A 的特征值为1, －1, 2, 则2332A A B -=的特征值为_______. 解：42322,5)1(3)1(2,11312232323=⋅-⋅-=-⋅--⋅-=⋅-⋅，3.设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值解：因为AA A =•，•A 的特征值为λA，所以上式的特征值为：1)(2+λA4.设n 阶矩阵A 的特征值为1, 2, …, n , 试求|2|E A +.解：因为A 的特征值为1, 2, …, n , 所以2A + E 的特征值为),,2,1(12n i i =+. 所以∏=+=+ni i E A 1)12(|2|。

5. 零为矩阵A 的特征值是A 为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件 解：假设n λλλ,,,21 为A 的所有特征值, 则n A λλλ 21||=. 所以 0为A 的特征值⇔A 可逆 (C)为答案.6. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, βα与是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则有βα与是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量 7. 设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则(A) 对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量. (B) 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量. (C) 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量. 解：21λλ≠为A 的二个相异的特征值, 所以存在非零向量ηξ,, 满足ηληξλξ21,==A A . 而且ηξ,线性无关.假设存在 λ 满足: )()(2121ηξληξk k k k A +=+ 所以 ηλξληλξλ212211k k k k +=+, 即0)()(222111=-+-ηλλξλλk k k k因为 ηξ,线性无关, 所以 111k k λλ-= 0, 1λλ=; 221k k λλ-= 0,2λλ=. 和21λλ≠矛盾. 所以(C)为答案.8. 设0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 且齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 则A 的属于0λ的全部特征向量是(A) 21ηη和 (B) 21ηη或 (C)2211ηηC C +(21,C C 为任意常数) (D) 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组0)(0=-x A E λ的基础解系为21ηη和, 所以方程组0)(0=-x A E λ的全部解为2211ηηC C +(21,C C 为任意常数)，但特征向量不能为零, 则A 的属于0λ的全部特征向量是: 2211ηηC C +(21,C C 为不全为零的任意常数), (D)为答案. 9.设1=λ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410213t A 的特征值，求：（1）t 的值；(2) 对应于1=λ的所有特征向量。

解：因为1=λ，t t E A ⇒=⋅⇒=-000为任意实数。

（2） 1,0=≠λt 时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00100021000142021000142021400420214t E A λ所以2)(=-E A r λ. 方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个相应的方程组为⎩⎨⎧==-02132x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T 1,2,0, 对应于1=λ的全部特征向量为()Tk 1,2,0当1,0==λt 时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-000210001000210004000210214000420214E A λ所以 2)(=-E A r λ，方程组0)(=-x E A λ基础解系所含解向量个数为1个相应的方程组为⎩⎨⎧=-=020321x x x . 取2,123==x x 得. 所以解向量为()T1,2,0,对应于1=λ的全部特征向量为()Tk 1,2,0。

10.设A 是3阶矩阵，且矩阵A 的各行元素之和均为5，求矩阵A 的特征值、特征向量。

[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1115111A 11题答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1111112135212λb a 031=-=-=b a λ 11. 已知()T1,1,1-=α是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2135212b a 的特征向量 ，求b a ,和α的特征值。

12.设A 是n 阶矩阵，满足A 2=A ，求矩阵A 的特征值。

解：()0002=⇒=-⇒=-A E A A A A 或者1001==⇒=-λλ或者E A13.设向量()Tn αααα 21,=，()n b b b 21,=β都是非零向量，且满足条件0=βαT ，记n 阶矩阵βαT A =，求：（1）2A （2）求A 的特征值与特征向量。

解:(2) 设λ为特征值，x Ax λ= ，x 不为零，x Ax x A 22λλ==任意n 个线性无关的特征向量都是它的特征向量，可选n 个单位向量。

14. 设矩阵15310a c Ab ca -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)Tα=--，求a b c 、、和0λ的值 解：因为λλAAA A =⇒=••，所以A 的特征值01λλ-=αλααλααλα0001-=⇒=⇒=•A AA A ，所以α也是A 的特征向量。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1111111013510λa c b c a1,3,0=-==λb c a 又因为1-=A ，代入可得：2==c a15. 设()Ta 1,0,1-=，矩阵Taa A =，n 为正整数，则=-n A aE解：，()2,002321===⇒=-⋅=-λλλλλλλE A16. 若3维列向量βα,满足2=βαT，其中T α为α的转置，则矩阵Tβα的非零特征值为：解：()2,,332211321321=++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβαβαβββααα，TT T βαβαβα2=⋅2222=⇒=⇒=⋅λλλA A A 二、相似矩阵定义1： 设A , B 都是n 阶矩阵, 若有n 阶可逆矩阵P , 使P -1AP =B 。