基础解系中两个向量恰好正交,单位化得两个正交的 单位的特征向量.
1 0 1 p2 0 , p3 1 . 2 0 1
(3)将求得的p1,p2,p3拼成一个正交矩阵P.即
P ( p1 , p 2 , p 3 ) 0 1 0 1 . 2 1 2
s 1 s 1 s 1
, , n
n n
.
显然，γ1,…, γs, γs+1,…, γn为单位正交向量组.
*例5.3
已知4维正交向量组
1 1 1 1 1 , 2 0 0 0 1,
则需把它施密特标准正交化:
令 b1 1 ,
b1 b1 1 1 1 . 3 1
e1
b 2 2 2 , e1 e1
2 2 , b1 b1 b1
2
1 1 1 1 1 3 1 1
根据定理5及定理7知,对应特征值λi(i=1,2,…,s) ,恰ri个线 性无关的实特征向量，把它们施密特标准正交化,即得ri个 两两正交的单位向量.由r1+r2+…+rs=n知这样的特征向量共 可得n个. 按定理5.3知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n个单位特征向量两两正交 .于是以它们为列向量构成正交 矩阵P,并有 P-1AP=Λ 其中对角矩阵Λ的主对角元素含r1个λ1，r2个λ2，…，rs个λs 恰是A的n个特征值.
1 A E 0 1 0 2 0 1 0 1
2
1 1
2
1 1
2 .
可得A的特征值为λ1= λ2， λ3=0.
记对角矩阵
2 Λ 0 0 0 2 0 0 0 , 0
因为A为对称矩阵，故存在正交矩阵PTAP=∧. 所以 A=P∧PT，于是
1 1 1 1 2 4
1
1 x1 1 3 x2 1 , 9 x3 3
1
由于
1 1 1
1 1 2 3 1 0 0 4 9 3 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 1 1
线性代数
机动
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第五章
§5 实对称矩阵的相似对角化
教学目的：通过本节的教学使学生理解实对称矩阵必 可对角化的理论，掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学要求：要求学生深刻理解为什什么实对称矩阵必 可对角化，要熟练掌握实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学重点：实对称矩阵化成对角矩阵的方法. 教学难点：实对称矩阵化成对角矩阵. 教学时间：2学时.
可以验知仍有
P-1AP=∧.
由此可见,把一个方阵化成对角矩阵所用的正交变换矩 阵P不是唯一的.
例5.2 设矩阵
1 A 0 1 0 2 0 1 0 , 1
矩阵B=(kE+A)2,k其中为实数，E为单位矩阵.求对角矩阵∧， 使B与∧相似，并求k为何值时，B为奇异矩阵.
解 由
T
但因x≠0,所以
x x xi xi xi
T
i 1 i 1
n
n
2
0,
故 0， ，这就说明λ是实数. 即
显然，当特征值λi为实数时，齐次线性方程组
(A- λiE)x=0
是实系数方程组,由|A- λiE|=0知必有实的基础解系,所以对 应的特征向量可以取实向量.
B k E A k PP P P
2 T T

2
= [ P(kE+Λ) PT ] [ P(kE+Λ) PT ] = [ P(kE+Λ)2 PT ]
k 2 2 P
k 2
2
T P . 2 k
由此可得
k 2
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§5 实对称矩阵的相似对角化
5.1实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理5.1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数λ为实对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 .用 表示λ的共轭复数. 用 x 表示x 的共轭复向量.
1 2 1 2
0
0
(4)可以验知确有
2 1 T P AP P AP 0 0 0 4 0 0 0 . 4
在此例中对应于λ=4,若求得方程(A－λE) x = 0 的基础 解系
1 1 1 1 , 2 1 , 1 1
4 3 2 3 2 3
2 2 1 , 3 1
e2
b2 b2
2 1 1 . 6 1
于是得正交矩阵
0 1 P 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 6 1 . 6 1 6
(λ1-λ2)α1Tα2=0.
因为λ1-λ2≠0，所以必有α1Tα2=0.即(α1,α2 ) =0,亦即α1与α2正 交.
定理5.3 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重 根,则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰 有r个线性无关的特征向量.
定理5.4 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 P-1AP=Λ 其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明 设 A的互不相等的特征值为λ1，λ2，…，λs ,它 们的重数依次为r1,r2,…,rs(r1+r2+…+rs=n).
(2 )(4 ) 0.
2
得A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=4. (2) 由(A-λE)x=0,求A的特征向量.当λ1=2时，由
2 0 0 0 1 1 0 x1 0 1 x2 0 , 1 x3 0
2
k 2
2
. 2 k
显然，B与A相似,且k=0或 k = －2时,B为奇异矩阵.
例5.3 设3 阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=2， λ3=3.对 应的特征向量依次为α1=(1,1,1)T, α2=(1,2,4)T, α3=(1,3,9)T, 又 向量β=(1,1,3)T.(1)将β用α1, α2, α3线性表示；(2)求An β. 解 (1) 设β=x1α1 +x2α2 +x3α3,即
1 1 3
1 0 0
1 2 8
0 1 0
1 0 2
0 0 1
1 0 0
1 1 0
1 2 2
1 0 2
2 2 . 1
解得x1=2， x2=-2， x3=1，故β=2α1 -2α2 +α3.
2
则
1 令
而
从而 Anβ=P∧nP-1β= P∧nP-1Pα= P∧nα.
1 1 1
1 1 1
1 2 4
2 2 2

1 1 3 9
n n 1
2
n
2 2 n 3 1
n2
n 1
3 2 n 1 3 2 n2 3 1
2
1 , P 1 , 2 , 3 1 3 1
1 2 4
1 3 , 9
A=P∧P-1，即An=P∧nP-1 ,
2 1 , 2 , 3 2 P , 1
便可以保证向量组β1, β2,α3, α4线性无关.对这组向量，从第 三个向量开始实施Schmidt正交化过程，注意到α3显然与β1, β2都是正交的，故得 β3= α3，再计算
4 k1 1 k 2 2 k 3 3 4 ,
试求4维向量β3, β4使β1, β2, ,β3, β4成为一个正交的向量组.
解法1 注意到β1, β2的前两个分量形成的二阶子式
1 1 1 1
的值不为零，令
0 0 0 0 , , 3 4 1 0 0 1
解得
x1 0 x2 k1 1 , k ≠0任意. 1 x3 1
0 c1 1 , 1
0 1 1 . 单位化得 p1 2 1
取
当λ2=λ3=4时，由
则 A x A x A x x x .于 是 有



x Ax x
T
T
Ax x x x
T
T
x,
T T
x Ax ( x A ) x ( Ax ) x ( x ) x x x.
T T T T
两式相减,得
( ) x x 0,
例5.1 设
4 A 0 0 0 3 1 0 1 , 3
求一个正交矩阵P，使P-1AP=∧（ ∧为对角矩阵）. 解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值. 4 0 0
A E 0 0
2
3 1
1 3
(4 )( 6 8)
0 0 0
解得
0 1 1
0 x1 0 x 0 , 1 2 1 x3 0
x1 1 0 x k1 0 k 2 1 , 2 x3 0 1