第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。

对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A —1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。

性质2（1） nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ（2） || 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。

记作A ∽B . 并称P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是等价关系，满足：1° 反身性：A ∽A .2° 对称性：若A ∽Ｂ，则Ｂ∽A . 3° 传递性：若A ∽Ｂ，B ∽Ｃ 则 A ∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A 、B 为n 阶矩阵，若A ∽B ，则 （1） A B =； （2） ()()R A R B =；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，1A -∽1B -；（5）设f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ；6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值λ恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

7．n 阶矩阵A 相似对角化的方法（1）解特征方程0E A λ-=，求出A 的全部特征值，12,,s λλλ，设i λ是i n 重根(1,2,)i s =（2）对每个特征值i λ，解齐次线性方程组()0i E A X λ-=，求得基础解系12,,,i i i in X X X ；（3）令可逆矩阵1211121,21222,12(,,,,,,,,,,)s n n s s sn P X X X X X X X X X = 则111ss P AP λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8.实对称矩阵的特征值和特征向量8.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 （1） 实对称矩阵的特征值都是实数（2） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的（3） 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵Q ，使得1TQ AQ Q AQ-=为对角阵用正交变换法化实对称阵为对角阵的步骤1） 解特征方程0A E λ-=求出对称阵A 的全部的特征值（根），12,,s λλλ，设i λ是in 重根(1,2,)i s =；2）对每个特征值i λ，解齐次线性方程组()0i E A X λ-=，求得基础解系12,,,ii i in X X X3）将基础解系12,,,i i i in X X X 正交单位化，得正交 单位向量组12,,,i i i in ηηη4）令可逆矩阵1211121,21222,12(,,,,,,,,,)s n n s s sn Q ηηηηηηηηη=则 111Tss Q AQ Q AQ λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二．重点难点⒈ 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值与特征向量的定义、性质与求法；矩阵的特征值与迹、矩阵行列式的关系. 2． 相似矩阵与矩阵对角化矩阵对角化的必要条件与充分条件；矩阵对角化的判定与对角化的方法；矩阵对角化的应用.3． 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，实对称矩阵正交相似于对角阵的化法.三．学习要求1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2. 理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.掌握实对称阵化为正交相似对角阵的方法.四．典型题分析例1 设A 是四阶矩阵，已知30,2,0.T E A AA E A +==<则A 的伴随矩阵*A 的一个特征值是___________分析：考虑根据30E A +=可得A 的一个特征值，再根据A 与其伴随矩阵*A 的关系即可求解.解 由于30E A +=，于是有3λ=-是A 的一个特征值. 又由于22,0,164TAA E A A A =<==-所以易知 由*AA A E =，所以3λ=-是A 的一个特征值，则Aλ是*A 的特征值，因此*A 的一个特征值是43Aλ=例2 已知三阶矩阵A=00110100x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则参数x =____________分析 三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，则A 可以对角化，可通过先求特征根中的重根再代入即可求得x 解 矩阵A 的特征多项式为20110(1)(1)1E A xλλλλλλ--=--=+--解得矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==因为A 有３个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化，则其二重根1λ=有两个线性无关的特征向量。

于是(1)321R A E -⋅=-=，对1A E -⋅作初等变换，有10110100001010000A E x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=解得 例３ 设矩阵 A 、B 均为n 阶矩阵，则矩阵A 与B 相似的充分条件是： (A) A 与B 有相同的特征值. (B) A 与B 有相同的特征向量. (C) A 与B 和同一矩阵相似.(D)k A 与k B 相似.分析 A 与B 有相同的特征值不一定相似，因为不一定能找到可逆矩阵P ，使1P AP B -=（ B ） 显然，易举反例 （C ）由相似的传递性可知正确（D ）举反例：设0011,0011A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭220,0A B ==显然22A B 与相似，但是矩阵A 与B 不相似解 选(A)例4设矩阵156310ac A c a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求0,,,a b c λ的值 .分析 本题可根据特征值和特征向量的定义求得未知参数.解 根据题设可得：*0A αλα=两边同时左乘A 得 ：*0AA A αλα= 即00A E A A αλαλαα=⇒=-所以有011153111011a c b c a λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此可得：000(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩解得：01,3,b a c λ==-=由于1,A a c =-= 又得：2a c == 因此：01,3,2b a c λ==-==例5：设矩阵1114335A x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，已知A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，试求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵.分析 根据A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，代入E A λ-，即可求出A 中未知参数。

解 因为A 有3个线性无关的特征向量，2λ=是A 的二重特征值，所以A 的属于2λ=的线性无关的特征向量必有2个 ，故秩 (2)1R E A -=即：111111202333000x y x x y --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭于是解得：2,2x y ==-矩阵111242335A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭先求A 的特征值： 2111242(6)(2)335A E λλλλλλ---=--=------ ()21111112222000333000A E λ=---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将代入特征矩阵得：12111001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：()365111106222001331000123A E λξ=---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭将代入：解得：最后解得可逆矩阵：11112102,20136P P AP -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例6设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. 解 (Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n 123n r r r r ++++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于综合性的题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.例7设12,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα是A 的属于12,λλ的特征向量，试证明12αα+不是A 的特征向量.分析 该结论用定义即可证明，为叙述方便运用反证法.证明 用反证法。