专题五 数列误区三：通项遗漏导致错位相减法求和错误一、易错提醒数列求和问题是高考的重点,而错位相减法求和又是数列求和中的重点： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.笔者通过多年高三教学发现,高三学生都知道什么样的数列求和,可用错位相减法,但每次考试时,又有相等一部分学生在利用错位相减法求和时,出现运算错误.这一点应引起高三备考学生注意.在应用错位相减法求和时要注意以下问题：(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式,特别要注意出现项数遗漏的情况．学=科网(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“1q =”该不该考虑？,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键.二、典例精析【例1】【2017届福建闽侯县三中高三上期中数学】已知数列}{n a 满足)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 且51=a .（1）求32,a a 的值； （2）若数列}2{nn a λ+为等差数列,请求出实数λ； （3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S【分析】（1）根据)2,(1221≥∈-+=*-n N n a a n n n 由51=a 可得2,a 进而可得3a ；（2）由}2{n n a λ+为等差数列,得)2(22222331λλλ+=+++a a a ,进而解得=1λ-；（3）由（2）得112n n a n -=+,进而可得12)1(++=n n n a ,利用分组求和及错位相减求和可得数列}{n a 的通项公式及前n 项和为n S .【解析】（1）∵1221-+=-n n n a a ,51=a ,131222212=⇒-+=a a a ,331223323=⇒-+=a a a .（2）∵}2{n n a λ+为等差数列,∴)2(22222331λλλ+=+++a a a , 21383325λλλ+=+++,13332-=-=λ. (3)321,221221=-+=-a a ,∴1=d11)1(21211+=⨯-+-=-n n a a nn ,∴12)1(++=nn n a 令n n n T 2)1(232221⨯+++⨯+⨯= ,1322)1(23222+⨯+++⨯+⨯=n n n T113222)1(2224++-=⨯+-++++=-n n n n n n T ,∴12+=n n n T ,∴n n S n n +=+12.【点评】“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 【小试牛刀】【安徽省淮南市2018届高三一模】已知数列为等差数列,且,,数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式；(2)设,求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）数列为等差数列,所以又因为,当时,所以当时,即数列是首项为,公比为的等比数列,所以（Ⅱ）两式相减得所以三、迁移运用1.求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .2.已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．【解析】(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3, 由题意得a 2＝2,a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ,则a 4－a 2＝2d ,故d ＝12,从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ,由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1,则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1,12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2 ＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.学科=网3．【2017江西赣州市十三县十四校高上期中】已知,n N *∈设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和,112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ,求证：对于任意正整数n ,122n T ≤< 【答案】（1）1()2n n a =（2）详见解析（2）由（1）知2n nn na =, 所以234112*********n n n n nT --=++++++ ,①232123412122222n n n n nT ---=++++++,②②-①得：2111112222n n n nT -=++++-,11()22212212nn n n n n T -+=-=--, 由1111(1)02n n n n n T T n a ++++-=+=>,得123n T T T T <<<<,故112n T T ≥=又2222n nn T +=-<,因此对于任意正整数n,122n T ≤< 4．【2017届湖南常德一中高三上学期月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n S 2)1(⋅-+=λ,又数列{}n b 满足：n b a n n =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围.【答案】（1）⎩⎨⎧≥⋅==-)2(2),1(1n n n a n n λ；（2）1=λ,)2,1[)211(221∈-=+⋅⋅⋅++nn b b b . 【解析】（1）由n n n S 2)1(⋅-+=λ,当1=n 时,λ==11S a ；当2≥n 时,11122)2(2)1(---⋅=⋅--⋅-=-=n n n n n n n n n S S a , 故数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-)2(2),1(1n n n a n n λ5．【2017届福建龙岩市五校高三上学期期中联考】已知数列{}n a 的首项21=a ,且满足)(,232*11N n a a n n n ∈⋅+=++.（1）设n nn a b 2=,证明数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前项和n S ．【答案】（1）详见解析；（2） 1(35)210n n S n +=-⋅+【解析】（1）111112222+++++-=-=-n n n n n n n n n a a a a b b 322311=⋅=++n n∴数列{}n b 是以1211==a b 为首项,3为公差的等差数列. （2）由（1）可知n n n n a n n b 2)23(;23)1(31⋅-=∴-=-+=()n n n S 22327242132⋅-++⋅+⋅+⋅=∴ ① ()()13222325324212+⋅-+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①-②得：102)35(2)23(21)21(2322)23(23232321112132-⋅-=⋅----⋅+=⋅--⋅++⋅+⋅+=-++-+n n n n n n n n n S 102)53(1+⋅-=∴+n n n S6．【2017届福建福州外国语学校高三适应性考试】数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =-,设22(log 1)n n b a =+,*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=（*n N ∈）；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+． 【解析】（1）21n n S a =- ①1121n n S a --=- ②由①-②得12n n a a -=,由于1121S a =-,11a =, ∴12n n a -=（*n N ∈）． （2）22(log 1)2n n b a n =+=,由题意得012122426222n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅…,③1212 2242(22)222n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅…,④③-④得12122(222)n n T --=++++…22n n -⋅(22)22nn =-⋅-,∴1(22)22(1)22n n n T n n +=-⋅+=-⋅+．7．【2017届山西太原市高三上期中】已知数列{}n a 满足(){}21,n n n S a n N b *=-∈是等差数列,且1143,b a b a ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()112n n n n c n N a b b *+=-∈,求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1） 12n n a -=,n b n =；（2）1221n n T n -=-+.8．【2017届黑吉两省八校高三上期中】对于数列}{n a 、}{n b ,n S 为数列}{n a 的前n 项和,且n a S n S n n n ++=+-+)1(1,111==b a ,231+=+n n b b ,*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ,求数列}{n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =,1321-⋅=-n n b ；（2）13452415-⋅+-=n n n T . 【解析】（1）因为n a S n S n n n ++=+-+)1(1,所以121++=+n a a n n ,所以=+++-+-=+-+-++-+-=---+13)32()12()()()()(112232111 n n a a a a a a a a a a n n n n n22)112(n nn =+-=,所以}{n a 的通项公式为2n a n =.由231+=+n n b b ,得)1(311+=++n n b b ,所以}1{+n b是等比数列,首项为211=+b ,公比为3,所以1321-⋅=+n n b ,所以}{n b 的通项公式为1321-⋅=-n n b .（2）1123132)(2---=⋅+=n n n n n n n c ,所以12210313343332--++++++=n n n n n T ,① 则2310031334333323--++++++⋅=n n n n n T ② ②-①得111122325221531311311631)3131311(62-----⋅+-=+---+=+-+++++=n n n n n n n n n T . 所以13452415-⋅+-=n n n T . 9.【河南省南阳市2018届高三上学期期末】 等差数列中,已知,,且,,构成等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式； （2）设,求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为,则由已知∴又解得或（舍去）∴,∴又,∴,∴（2）∴两式相减得则.。