错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•(I)求数列的通项公式;(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点「均在函数的图象上，二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T又忙：=.：「=乜，适合上式,I ............................................... （7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨, ,: ■ .1=2整理得：，•.................2.已知数列’的各项均为正数，是数列’（14 分）的前n项和，且（1）求数列’的通项公式；（2）二知二一-［答案］查看解析解出a i = 3, ［解析］又4S n = a n? + 2a n —3 ①2当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o... ■ - ■ :.”■-■'"叫—2( 一)二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『又.：匚............... : -.:-T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'④一③+(2卄】)・2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列■，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式•；(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：［答案］(i 由■'，，得'•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.用错位相减法可求得■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若' .求数列' 的前厂项和［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以’或. .(6分)(n)因为' ，所以'，所以^所以' •「——，所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'两式相减得,所以' .(13 分)5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中= S,且公差心2.(I)求数列’、；的通项公式；(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，若不存在，说明理由.u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口［解析］(I) 时，相减得：%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人? ?'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。

3" >60的最小正整数为 4. (12分)6. 数列•：满足77二Z 二’,等比数列：—满足"d 二込.(I)求数列 「，‘的通项公式；(n)设’ ’，求数列"'的前’*项和..［解析］(I)由 ，所以数列 是等差数列，又 ，所以： (2)1;■-)—比—R由' 二“亞二込，所以 ,「，所以，，,即卑斗，打=¥所以^(6分)(n)因为 」，所以',又 h 、= h 、碎 d =, 二勺二 m 二丿打=2M +(6分)①一②得:则-所以’I匚匸匚匸「、■:：—二两式相减的：' ■,所以’'厂.（12分）7. 已知数列满足，其中.为数列的前•项和. （I ）求的通项公式；（n）若数列满足：（），求的前’项和公式•［解析］I）•••^ ，①②一①得，，又时,m，晁宀中….（5分）••證「丁i • 1 ： I?两式相减得一(13 分)8. 设d为非零实数,an d+2 d2+ …+(n-1) d n-1 +n C；d n](n €N*).(I )写出a i, a2, a3并判断On｝是否为等比数列•若是，给出证明；若不是，说明理由；(n )设b n=nda n(n €N*),求数列｛b n｝的前n 项和S n.［答案］(I )由已知可得a i=d, a 2=d(1+d) , a 3=d(1+d) 2.^sc^d^dtd+i)nt由此可见，当d z-1时，｛a n｝是以d为首项，d+1为公比的等比数列；当d=-1时,a1=-1, a n=0(n > 2)，此时｛a n｝不是等比数列.(7分)(n )由(I )可知，a n=d(d+1) n-1,从而b n=nd 2(d+1) n-1 ,S n=d 2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+ …+(n-1) (d+1) n-2 + n(d+1) n-1]. ①当d=-1 时,S n=d 2=1.当d z-1时，①式两边同乘d+1得(d+1) S n=d2[(d+1) +2(d+1) 2+ …+(n-1) (d+1) n-1+ n(d+1) n]. ②①，式相减可得-dS n=d 2[1+(d+1) +(d+1) 2+ …+(d+1) n-1-n(d+1) n]=d2魁出阳)"|.化简即得S n=(d+1) n(nd-1) +1.综上,S n=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分)9. 已知数列｛a n｝满足a1=0, a 2=2,且对任意m, n €N *都有a2m-1 +a 2n-1 =2a m+n-1 +2(m-n) 2(I )求a3, a 5;(n )设b n=a 2n+1 -a 2n-1 (n €N*),证明:｛b n｝是等差数列；(川)设c n=(a n+1 -a n) q n-1 (q丰0, n 令N 求数列｛c n｝的前n项和S n.[答案](I 由题意，令m=2, n=1 可得a3=2a 2-a 1+2=6.再令m=3, n=1 可得a5=2a 3-a1+8=20. (2 分)(n )证明：当n €N *时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3 +a2n-1 =2a 2n+1 +8.于是[a 2(n+1) +1 -a 2(n+1) -1 ]-(a 2n+1 -a 2n-1 )=8,即b n+1 -b n=8.所以，数列｛b n｝是公差为8的等差数列.(5分)(川)由(I )、(n 的解答可知｛b n｝是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.则 b n =8n-2, 即 a 2n+i -a 2n-i =8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=2 -(n-1) 210. 已知数列｛a n ｝是公差不为零的等差数列,a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；⑵求数列｛a n • "｝的前n 项和.［答案］(1)设数列｛a n ｝的公差为d(d 丰0),那么,a n+1 -a n =2-2n+仁Bi )2-2n+仁2n.于是 C n =2nq n-1当 q=1 时，S n =2+4+6+ …+2n=n(n+1).当 q Ml 时,S n =2 • q +4 • c[+6 •#+ …+2n • n q 1 .两边同乘q 可得qS n =2 ・&+4 • q +6 • 3+ …+2(n-1) n-1q+2n • q .上述两式相减即得 (1-q) S n =2(1+q 1+q 2+ …+q n-1 ) -2nq •方-2nq所以S n =2综上所述 n(n+l)(q-1) ’S n 上怜冲沖(12 分) l-(n41) q x,+nq ,H1由条件可知：(2+3d) 2=(2+d) • (2+7d解得d=2.(4 分)故数列｛a n｝的通项公式为a n=2n(n €N*).(6分)(2) 由(1)知a n • =2n x3n,设数列｛a n • ｝的前n项和为S n,则S n=2 x3+4 x3+6 x3+ …+2n x3n,32S n=2 X3+4X3+…+(2n -2) x25 +2n x3n+2 ,故-8S n=2(3 2+34+3 6+ …+32n)- 2n X32n+2 ,(8 分)(8»-1>K^J+1+9L4I所以数列｛a n.1｝的前n项和S n= .(12分)11. 已知等差数列：满足込二二心-土、二覚又数列：中轧=H且(1) 求数列，: 的通项公式；(2) 若数列 :，: 的前"项和分别是S叮7；，且耳=工(2：+耳求数列詁讣的前”项和';⑶若1 ;-:对一切正整数-恒成立，求实数‘■，的取值范围.fa, +2rf = 5,［答案］(1)设等差数列5的公差为』,则有仁仆斗八工(斫+4J)-2(CJ X门，虹产0, ■•■字二工庆f ）.•.数列： 是以 ；为首项，公比为 的等比数列/.A w =3x3fl -' -3ft (/ier h (4)分'迸.• 扌近亠亡札，- -. I ■・，+Sx3s ++（« ・i ）淇 3卄、+押乂 （2）「•得-V*L 宜 1，:. ^ ・•，1-3「： 、「「 I .............................. 分0(3) '■ ■厂扌[(亦 Igs 11 #[(2“1)>3J1] =9(j + l)x3u >0 ,解得+ 2// - IJ----------------- =冲23・3F 1-3⑵由⑴可得•.当时,取最小值，甌；=当匚宀I时,解得•即实数附的取值范围是＜一或册＞I * .14分12.设丄为数列「的前"项和，对任意的"弋，都有—n * 为常数，且'"一山（1）求证：数列L-是等比数列（2）设数列；讥的公比，J '，数列"满足'':F，求数列"■的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前凡项和… - 1 u. -V a［答案］188. （1）当一I时，，解得22/i1仃T'4-丄百-巩2Z ）（3 ）由（2）知，则；.町二++ …卡2” 'x （2rj*3）+2"x ：（2rt-l ）即；「心5 i .又嶋为常数，且r ',•擞列m1,公比为•小的等比数列（2 ）由（1）得,1 . 1kl是首项为2,公差为i 的等差数列.• ' ,?2^1 + 2^3+2^5+—13.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2, a 2n =2a n +1.(I )求数列｛a n ｝的通项公式(n )设数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,且T n+ -=入(为常数),令C n =b 2n (n €N *),求数列｛C n ｝ 的前n 项和R n .［答案］(I 设等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d.由 S 4=4S 2, a 2n =2a n + 1 得解得 a i =1, d=2.因此 a n =2n- 1, n €N .(n )由题意知：T n = x-,——严F所以 n 》2 时，b n =T n -T n-1 =- - +=②—①得」=2"11 x （2n-l ）-2-21-2M -------- 2加1-2分14fid = So L + 4（L2El-l^d — + nQlJ jd* 1*则R n =0 — 一+2 一…+(n-2)，+(n-「两式相减得1 _o L er o 3er 貳-R n =+++ …+-(n- 1) X=-(n- 1) X牛（4笄）整理得R n =計僚）所以数列｛C n ｝的前n 项和R n =:亡;故 C n =b 2n =「 =(n-1)(IT_ *€N .所以R n =0 ―厂+2 — ……(n-1)。