什么样的数列求和可以用“错位相减法”
若 这数 两列个数{ 列a n 为} 的等对差应数项列乘，积数组列成的{ b n新} 为数等列比{a数n 列 bn，} 由求
和时，常采用“错位相减”法
问:下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
(1)an n.2n
(2)11 2,31 4,51 8K(2n121n)
化简整理得:
Sn
9910n119n1
10
第二步，上式左右两边乘以等比数列公比 9
10
9 10
Sn
2 9 2 3 9 3 4 9 4 . .n . 9 n n 1 9 n 1
101010 10 10
第三步，两式进行错位相减得：
1 1S n 0 2 1 9 0 1 9 20 1 9 30 .. . 1 9 . .n0 .n 1 1 9 n 0 1
校：昌邑市文山中学 主讲人：于新伟
学习目标
能理解错位相减法，并能够正确地应用错位相 减法求数列的前n项和。
等比数列前n项和公式的推导
① ② ① -② 得
这种推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法，注意“错 位”、“相减”的含义，它蕴含了化无限为有限的数学思 想方法。
s 第五步：化简整理得 n
练一练
已知数列an(n1)(1 9)0 n,求 {an}的n项 前 Sn和 .
2020/7/2
解：第一步，写出该数列求和的展开等式
S n 2 1 9 0 3 1 9 2 0 4 1 9 3 0 .. .n . 1 9 . .n 1 0 n 1 1 9 n0
项乘积组成的新数列 {a n bn }
第二步：写出 {an bn } 前n项和的展开式，即 s n a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 L a n b n
第三步在 第二步所得式子的两边同乘以公比q，
第四步：第2步与第3步所得的两式相减。相减之后，撇开第一项和最后一项，中 间的所有项组成了一个公比为q的等比数列，对其使用等比数列求和公式求和。
(3)an
2n 1 3n
(4)an 2n n
答案（1） (3)
例题解析
一、观察：是否符合使用
求 数 列 {n21n}的 前 n项 和
分 析 ： 设 ann21n,其 中 {n}为 等 差 数 列 ， {21n}为 等 比 数 列 ， 公 比 为 1， 可 用 错 位 相 减 法 。
2
例题解析
二、写出求和的展开式
1 2sn1 22 1 2+2 1 3 L2 1 nn2 1 n 1
化简整理，得：s n = 2 -
1 2 n 1
-
n 2n
sn
n2 2- 2n
小技巧:验证n=1
小结：“错位相减法”的解题步骤
第其一中步数：列观{ a 察n }通为项等是差否数满列足，{a数n b列n}
的
{bn
}
形式， 为公比为q等比数列，由这两个数列的对应
例 ： 求 数 列 {n1}的 前 n项 和
三、 ①
2n
式两边乘以公比，得②式
解 ： 设 sn 1 1 2 + 2 2 1 2+ 3 2 1 3 L n 2 1 n
①
四、两式先错位后相减
1 2 sn
① -② 得 五、化简整理得
11
11
1 2 2+ 2 2 3 L (n 1 ) 2 n n 2 n 1 ②