错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1.均在函数，点的图象上．和为）求数列Ⅰ（的通项公式；是数列的前项和，求．（Ⅱ）设，[解析]考察专题：，，，；难度：一般[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，，，则设∴，∴，又点均在函数的图象上，∴．时，，当∴又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分），）知，Ⅰ）由（Ⅱ（．∴，∴，上面两式相减得：．整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数，．）求数列的通项公式；1（）的值.（2][答案查看解析时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－即，, －①②,∴．（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分．）2③（又④③④－=12分设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3.，数列前数列.项和，满足，）求数列的通项公式；（Ⅰ，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为，得由Ⅰ[答案] ()为公比的等比数列，故.是以）由（Ⅱ得，…，…+，记用错位相减法可求得：（注：此题用到了不等式：进行放大. . ）与的等比中项．4.已知等差数列是中，；）求数列的通项公式：（Ⅰ项和Ⅱ）若的前．求数列（的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，，则，又因为，设公差为或，，解得所以，；时当,时，.当或. （6所以分)，，所以，所以）因为Ⅱ（．所以，所以两式相减得，所以. （13分）中，项和，等差数列，5.，已知数列的前且公差.、的通项公式；）求数列（Ⅰ若存在，求出）是否存在正整数的最小值，，使得（Ⅱ.若不存在，说明理由时，相减得：）（[解析]Ⅰ，，，又为公比的等比数列，.是以1为首项，3数列，. （6又，分））（Ⅱ令………………①…………………②．得：②①－。

，当，，，即，当的最小正整数为4. （12分）满足.6. ，等比数列数列满足，的通项公式；）求数列（Ⅰ项和.）设的前，求数列（Ⅱ是等差数列，又，）由，所以数列[解析] （Ⅰ所以，，即，由，所以，所以，所以. （6分)，所以，）因为（Ⅱ则，所以，两式相减的，分）. (12所以．为数列的前7. ，其中已知数列项和．满足求的通项公式；Ⅰ)(项和公式.的前) ((Ⅱ) 若数列，求满足：∵，①[解析]Ⅰ)∴②，，得，，又②－①时，. （5分）∵，(Ⅱ)，，两式相减得，. （13分）n*n-12) . ∈=+n[dd+2d+…+(nN-1) d](n设8.d为非零实数, a n(Ⅰ) 写出a, a, a并判断{a}是否为等比数列. 若是, 给出证明;若不是, 说明理由;n213*) , 求数列{b}的前n项和(n设(Ⅱ) b=nda∈NS. nnnn2. =d(1+d) , a=d, a由已知可得Ⅰ答案[] () a=d(1+d)321．=, 因此n≥2, k≥1时, 当=. a n由此可见, 当d≠-1时, {a}是以d为首项, d+1为公比的等比数列;n当d=-1时, a=-1, a=0(n ≥2) , 此时{a}不是等比数列. (7分) n1nn-1, =d(d+1) ) 可知, a(Ⅱ) 由(Ⅰn2n-1, (d+1) b=nd从而n22n-2n-1]. ①-1) (d+1) S=d+n(d+1) [1+2(d+1) +3(d+1) +…+(n n2=1. 时, S=d当d=-1n当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得22n-1n]. ②=d+n(d+1) [(d+1) +2(d+1) +…+(n-1) (d+1) (d+1) S n①, ②式相减可得22n-1n]=d[1+(d+1) +(d+1) -n(d+1) +…+(d+1) -dS n2. =dn(nd-1) +1. S=(d+1) 化简即得nn(nd-1) +1. (12分) 综上, S=(d+1) n*2. =2aa+a=2, 且对任意m, n ∈N+2(m-n) 都有满足9. 已知数列{a}a=0, a m+n-12m-112n-1n2(Ⅰ) 求a, a;53*) , 证明:{b}N是等差数列;-a(Ⅱ) 设b=a(n∈nn2n-12n+1n-1*) , 求数列{c}的前n项和S. ) q=(a) (Ⅲ设c-aN(q≠0, n∈nnnn+1n[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a=2a-a+2=6. 132再令m=3, n=1可得a=2a-a) 分+8=20. (2135．*时, 由已知(以n+2代替Nm) 可得a+a=2a+8. :(Ⅱ) 证明当n∈2n+12n-12n+3于是[a-a]-(a-a) =8, 即b-b=8. n2n+12(n+1) +1n+12(n+1) -12n-1所以, 数列{b}是公差为8的等差数列. (5分) n(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{b}是首项b=a-a=6, 公差为8的等差数列. 1n13则b=8n-2, 即a-a=8n-2. 2n-12n+1n2. =可得(令m=1) , a-(n-1) 另由已知n-2n+1=-2n+1=2n. =那么, a-a nn+1n-1于是, c=2nq. n当q=1时, S=2+4+6+…+2n=n(n+1) . n012n-1. +…+2n·q+6·q q≠1时, S=2·q+4·q当n两边同乘q可得123n-1n. +2n·+6·qq+…+2(n-1) ·qS=2·qq+4·q n上述两式相减即得nn-1n12=2·) -2nq, =2(1+q(1-q) S+q=2·+…+q-2nq n=2·. 所以S n=(12分综上所述, S) n10.已知数列{a}是公差不为零的等差数列,a=2,且a,a,a成等比数列.8n421(1)求数列{a}的通项公式;n·}的前n求数列(2){a项和.n[答案] (1)设数列{a d(d≠0),的公差为}n2=(2+d)·(2+7d),解得d=2.(4分由条件可知:(2+3d))*).(6分N)}的通项公式为a=2n(n∈故数列{a nn2n·}的前n项和为S,由(1)知a·=2n×3设数列,{a(2)nnn2462n,+4×3+…+2n×3+6×3=2×3则Sn2462n2n+2,+2n×3+…+(2n3-2) ×3S=2×3+4×3n2462n2n+2,(8分)-2n×3+3+3)+…+3故-8S=2(3n=.(12分)的前}n项和S所以数列{a·nn,中已知等差数列且满足11.又数列.,的通项公式; 求数列(1)求数列的前的前,且项和分别是,(2)项和若数列;若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.(3)则有的公差为,]( 1)[答案设等差数列解得，，，公比为的等比数列.是以为首项,数列…………4分可得(2)由(1)，∴得，…………10分(3)，∴,,, 取最小值时当，，即时，恒成立；当，解得当时，由,的取值范围是. …………14即实数分都有为常数，的前项和，且12.对任意的设，为数列．）求证：数列是等比数列；1（求数列满足数列（2），设数列的公比，的通项公式；项和．的前（3）在满足（2）的条件下，求数列，解得．）当时，] 188.[答案（1时，，当即．为常数，且，又．∴．，公比为的等比数列．………………4分∴数列是首项为1，．）得，（2）由（1，，∴∵，∴．∴，是首项为，公差为1∴的等差数列．∴，（）．…………………9分∴，则．3）由（2）知（∴，①，②得，－②①分………………14 ．∴．13.设等差数列{a}的前n项和为S, 且S=4S, a=2a+1.n2nn42n(Ⅰ) 求数列{a}的通项公式;n*), 求数列{c}(n∈N的前n, 且T+=λ(λ为常数), 令c=b项和为Ⅱ() 设数列{b}的前nT nnnn2nn项和R.n[答案] (Ⅰ) 设等差数列{a}的首项为a, 公差为d.1n由S=4S, a=2a+1得n242n 解得a=1, d=2.1*.∈a=2n-1, nN因此n-,: T=λ(Ⅱ) 由题意知n=.=T-T+=-所以n≥2时, b n-1nn*.N=(n-1) , n故c=b∈=2nn-1) ×,+…+(n+1×+2×+3×所以R=0×n+(n-1) ×,-2) ×则R=0×+1×+2×+…+(n n两式相减得R-(n-1) ×+…+++=n=-(n-1) ×,-==R整理得.n=.项和}所以数列{c的前nR nn。