用放缩法证明不等式的方法与技巧一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12112-+<<++k k kk k3．22k k≥()4≥k 4．1232k k ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(2≥k )5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++（8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== 三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设11112612(1)n S n n =+++++，求证：1n S <2．设1n b n =（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <例1求∑=-nk k 12142的值 例2.求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n例3求证:nn412141361161412-<++++ 例4求证：351914112<++++n例5已知n n n a 24-=,nnn a a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .直接放缩1、放大或缩小“因式”：例1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1nn na b n N a +=∈-。

（I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <；例2.已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈例3.设数列}{n a 满足).,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立例4.已知数列{}n a 满足411=a ，2)1(11--=--n nn n a a a （*∈≥N n n ,2）。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：对74,<∈∀*n T N n 。

例5.数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I ）证明：对2≥n 总有a x n ≥； (II)证明：对2≥n 总有1+≥n n x x1．（2014•）已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =（n ∈N *）．若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=6+b 2．（Ⅰ）求a n 和b n ； （Ⅱ）设c n =（n ∈N *）．记数列{c n }的前n 项和为S n ．（i ）求S n ；（ii ）求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n ．2．（2015•）数列{a n }满足：a 1+2a 2+…na n =4﹣，n ∈N +．（1）求a 3的值；（2）求数列{a n }的前 n 项和T n ； （3）令b 1=a 1，b n =+（1+++…+）a n （n ≥2），证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n ＜2+2lnn ．3．（2013•）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，，n ∈N *．（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．4．（2014•）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．5．（2013•）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．6．（2012•）设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（3）证明：对一切正整数n，有．7．（2015•）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．8．（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n ﹣1，x∈M，i=1，2，…n}．i（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．9．（2012•）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．10．（2013秋•梁子湖区校级月考）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．11．（2011•）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．12．（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）13．（2011•）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．14．（2011•）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{ a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．15．（2011•）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1（a1∈R），且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对n∈N*，试比较与的大小．16．（2011•）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当n≥2时，试比较A n与B n的大小．17．（2009•）各项均为正数的数列{a n}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有．（1）当时，求通项a n；（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有．18．（2008•）设数列{a n}满足a1=0，a n+1=ca n3+1﹣c，n∈N*，其中c为实数（1）证明：a n∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；（2）设，证明：a n≥1﹣（3c）n﹣1，n∈N*；（3）设，证明：．19．（2008•）数列{a n}为等差数列，a n为正整数，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求a n，b n；课后作业： 1.求证：2222111171234n ++++<2.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S nn n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式。