1 1 2 2 n n 1
从第二项开 1 1 1 始放缩 ( ) (n 2)
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路一 将变式2思路二中通项从第三项才开始放缩.
n n
将通项放缩为 等比数列
1 1 1 左边 2 3 2 2 2
1 1 1 2 (1 2 ) 1 n 1 n 1 1 2 2 1 2
n
1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
n n 2 (n N ) 2 n
2 3 1 . n
试题解析
（3）当 a 1 时， f x 当 x 1 时， f x 0 ， 故 f x 在 1, 上是增函数.
1 x x 1 lnx ， f x 2 ， x x
n ，则当 x 1 时， f x f 1 0 . n 1 n 1 n 1 ln n 1 ln n 0 ， 所以 f x n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 1 3 1 n 1 ， ln , ln , , ln ， 所以 ln n 1 n 1 2 2 3 n 1 n 2 3 n 1 1 1 ， 所以 ln ln ln 1 2 n 1 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ) ， 即 ln( 1 2 n 1 2 3 n 1 1 1 所以 lnn ， 2 3 n 1 1 1 即对于任意大于 1 的正整数 n ，都有 lnn 2 3 n
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求
和，如何放缩？ n n 注意到 2 n 2
n n
将通项放缩为 错 位相减模型
1 2 3 左边 2 2 2
2 3
n2 n 2 2 2 2
n n
【方法总结之一】
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若
a 可直
i 1 i
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 1 1 1 (n 3) 2 n n(n 1) n 1 n
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 求证： 1 3 3 5 5 7 1 1 ( n N ) (2n 1)(2n 1) 2
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
1 5 7 对 2 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 2 ， 3 4 n
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
1 那么变式 1 和变式 2 就显然成立. 对 2 的 3 种放缩方法体现了 n n 5 1 三种不同“境界” ，得到 2 的三个“上界” ，其中 最接近 3 k 1 k
1 1 1 1 1 1 左边 [(1 ) ( ) ( )] 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 (1 ) 表面是证数列不等式， 2 2n 1 2 实质是数列求和
1 1 变式1 求证： 1 2 2 2 3
1 2 2 ( n N ) n
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
分析 变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将
变式2放缩的“度”进一步修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式2思路二更小一点.
1 4 4 1 1 2 2 2( ) (n 2) 2 n 4n 4n 1 2n 1 2n 1
例8(2017全国高中数学联赛河北省预赛第9题) 前n项和为Sn的正项数列an ,满足 an 2 +2an =4Sn 3 n N
1 求数列an 的通项公式；
an 1 1 1 1 (n N ) 2 求证：1 1 1 1 2 a1 a2 a3 an 1
当 n 1 时，令 x
放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几 年的广东高考数列试题中都有考查.放缩法灵活多变，技 巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又 太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得 高不可攀！高考命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何 把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩 法的精髓和关键所在！其实，任何事物都有其内在规律， 放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列 问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭 开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！
用放缩法证明 数列中的不等式
周考卷的思考
高二理科周考卷（4.17）
14．已知函数 f x 1 x lnx （其中 a 0 ,
ax
e 2.7 ）.
（1）当 a 1 时,求函数 f x 在 1, f 1 点处的切线方程;
（2）若函数 f x 在区间 2, 上为增函数,求实数 a 的取值范 围; （3）求证:对于任意大于 1 的正整数 n ,都有 lnn 1 1
1 2 （欧拉常数）. 2 6 k 1 k

【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
例7 (2017全国高中数学联赛天津市预赛第15题) 如果整数n 2，证明 1 1 1 2 求证： 1 1 1 2 ( n N ) 2 2 2 2 3 n
1 1 变式3 求证： 1 2 2 2 3
1 5 2 ( n N ) n 3
例2 (2013广东文19第(3)问 ) 1 1 1 1 1 求证： ( n N ) 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2 分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩. 1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变
式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
思路二 将通项放得比变式1更小一点. 保留第一项，
2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 4 n 1 n 1 1 1 7 1 1 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (n 2) 2 2 4 2 2 n n 1 当n = 1时，不等式显然也成立.
2 3
n n2 2 2 2
n

2
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 1 1 变式2 求证： 2 3 2 1 2 1 2 1
1 n 1 (n N ) 2 1
分析 左边不能直接求和，须先将其通项放缩后 求和，如何放缩？
1 1 注意到 2 1 2
保留前两项，从 第三项开始放缩
1 1 1 1 1 左边 1 2 ( ) ( ) 2 2 3 3 4
1 1 ( ) n 1 n
1 1 1 7 1 7 1 (n 3) 4 2 n 4 n 4
当n = 1, 2时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消
模型后求和. 保留第一项， 1 1 1 1 从第二项开 (n 2) 始放缩 n n(n 1) n 1 n 1 1 1 1 1 左边 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n 1 n
2
1 1 1 2 (n 2) n
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
1 1 1 变式2 求证： 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2 3 变式3 求证： 2 3 2 1 2 2 2 3
1 1 1 例1 求证： 2 3 2 2 2
1 n 1 (n N ) 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 2 3 变式1 求证： 2 3 2 2 2
n n 2 (n N ) 2
分析 不等式左边可用“错位相减法”求和. 由错位相减法得
1 2 3 2 2 2
n
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要 先将通项 an 放缩后再求和.