《数值计算方法》复习试题四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。
答案：2,,1)(x x x f =是精确成立，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11f f f f dx x f +-++-=⎰-当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4)(x x f =时，左=52，右=31。
所以代数精度为3。
69286.014097]321132/11[98]311311[91311113221≈=+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P5.5)2()2(3=≈P f4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=+='1)0(32y yx y )10(≤≤x答案：解：⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y即 04.078.152.01++=+n n n y x y5、已知求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。
答案：解：正规方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+4134103101510520120a a a a a1411,103,710210===a a a221411103710)(x x x p ++= xx p 711103)(2+=' 103)0()0(2='≈'p f6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332x M x R ω≤尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果596274.063891.0sin ≈，且41055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!31596274.063891.0sin -⨯≤----≤-7、构造求解方程0210=-+x e x的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||-+<-n n x x 。
答案：解：令 010)1(,02)0(,210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x.且010e )(>+='xx f )(∞+-∞∈∀，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为)e 2(101x x -=则当)1,0(∈x 时)e 2(101)(x x -=ϕ，110e10e |)(|<≤-='x x ϕ故迭代格式)e 2(1011n x n x -=+收敛。
取5.00=x ，计算结果列表如下：且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x x x x x 。
答案：解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==2441321153121LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T)3,2,1(=x .9﹑对方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++841025410151023321321321x x x x x x x x x（1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由；（2） 取初值T)0,0,0()0(=x ，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=--151023841025410321321321x x x x x x x x x故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x取T )0,0,0()0(=x,经7步迭代可得：T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .10、已知下列实验数据试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解：当0<x <1时，='')(x f e x ，则 e )(≤''x f ，且x x d e 10⎰有一位整数. 要求近似值有5位有效数字，只须误差4)(11021)(-⨯≤f R n .由)(12)()(23)(1ξf n a b f R n ''-≤，只要422)(1102112e 12e )e (-⨯≤≤≤n n R x n ξ即可，解得⋅⋅⋅=⨯≥30877.67106e2n所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。
11、用列主元素消元法求解方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11124112345111321x x x 。
解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111124111123451111212345411121r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−↔⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−-5852510579515130123455795151305852510123455251321312r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−+13513505795151301234513123r r回代得 3,6,1123==-=x x x 。
12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数xx f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2x P ,并估计误差。
解：)15.0)(05.0()1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----⨯+----⨯=--x x e x x e x P)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.01)(01()5.0)(0(15.01-+----=----⨯+---x x e x x e x x x x e又1|)(|max ,)(,)(]1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x故截断误差 |)1)(5.0(|!31|)(||)(|22--≤-=-x x x x P e x R x 。
13、用欧拉方法求⎰-=x t tx y 0d e )(2在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。
解：⎰-=x t tx y 0d e )(2等价于⎪⎩⎪⎨⎧=='-0)0(e 2y y x (0>x )记2e ),(xy x f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x .则由欧拉公式⎩⎨⎧=+=+0),(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n可得 88940.0)0.1(,5.0)5.0(21≈==≈y y y y , 12604.1)0.2(,07334.1)5.1(43≈==≈y y y y14、给定方程01e )1()(=--=xx x f1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。
解：1）将方程 01e )1(=--xx （1）改写为xx -=-e 1 （2）作函数1)(1-=x x f ，xx f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。
2) 将方程（2）改写为 xx -+=e 1构造迭代格式 ⎩⎨⎧=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0( =k计算结果列表如下：3) x x -+=e 1)(ϕ，x x --='e )(ϕ当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(⊂∈ϕϕϕx ，且1e |)(|1<≤'-x ϕ所以迭代格式 ),2,1,0()(1 ==+k x x k k ϕ对任意]2,1[0∈x 均收敛。
15、用牛顿(切线)法求3的近似值。
取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
解：3是03)(2=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为n n n n x x x x 2321--=+， 即),2,1,0(2321 =+=+n x x x n n n取x 0=1.7, 列表如下：16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。