第十二章 压杆的稳定性12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。

（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==，1.0;l m =（3）16号工字钢，2.0l m =。

解：结构为两端铰支，则有221,0,lj EIP l πμ==(1)圆截面杆，434932(0.025),2001037.61037.664(1.0)64lj d I P kN ππ⨯==⨯⨯=⨯=⨯(2)矩形截面杆，32312349322020401040,20010531053121212(1.0)lj bh I mm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯=⨯ (3)16号工字查型钢表知2849321130102001130,1046110461(2.0)lj I cm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯=题12-1图 题12-2图12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。

杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。

杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。

解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2k EIρ=，则有微分方程：22V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=-0,0x v '==（转角为零），0A k ⋅=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=-因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ⋅=，由于0δ≠，可得：cos 0,2kl kl π== （最小值）而2k EIρ=，得22(2)lj EIP l π=注：由cos 0kl =，本有02kl n ππ=+>，计算可见0n =（2kl π=时），对应的P 值是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。

12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：92.6,52.5,sP s a bσλλ-====式中338, 1.22a b ==s σσsp 50题12-3图12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢，210E GPa =。

两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ）的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。

试求此杆的临界应力lj P 。

题12-4图解：在正视平面内，23421,804012lj EIP I mm l π==⨯⨯ 俯视平面内， 22342221,4080()(0.6)12lj EI EI P I mm l l ππμ===⨯⨯⨯ 因为332180404080(0.6)⨯<⨯⨯，对同一结构，lj P 按正视平面内的公式计算（取较小值）： 2293123223.1421011080401061410614212lj EIP N kN l π-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 12-5 钢结构压杆由两个56568⨯⨯的等边角钢组成，杆长 1.5l m =，两端为球形铰支受轴向压力150P kN =，角钢为3A 钢。

试确定压杆的临界应力及工作安全系数。

解：查型钢表得：428.36710,0.0168y A m i m -=⨯=，则 1 1.5891230.0168liμλ⨯===<采用抛物线公式：22350.0066182,2305lj lj lj MPa P AkN σλσ=-=== 3052.03150lj P n P===题12-5图 题12-6图12-6 图示立柱，长6l m =，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。

试问当a 为多大时立柱的临界压力lj P 最高，其值为何？已知材料的弹性模量200E GPa =，比例限200p MPa σ=。

解：a 的变化只会引起y I 的变化，对z I 没有影响；在两个平面内，μ值相同，l 同，同一结构，仅仅由I 的大小决定结构在那一平面内最易失稳（lj P 最小） 可见，立柱的临界压力lj P 最高时，应该有()()lj y lj z P P =则由22()lj EI P l πμ=，有y z I I =，z I 查型钢表，为42198.3z I cm =⨯ 而242[25.612.74(0.12 1.52)]()y I cm =⨯+⨯+ 解得 4.343a cm mm ==此时，26823.14200102198.310443(0.76)lj P N -⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯P题12-7图 题12-8图12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径30D mm =，内径22d mm =，长度 2.5l m =，材料的弹性模量210E GPa =。

支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数3w n =求支架的许可载荷P 。

解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为N ，2.52691001λ==>94423.1421010 3.14(0.030.022)9360(1 2.5)64lj P N ⨯⨯=⨯-=⨯N 取3120lj WP N N n ==，则载荷 2[]3cos 3312074902.5P Q N α==⨯⨯= 即许可载荷为7490N 。

12-8 在图示结构中，AB 为圆形截面杆，直径80d mm =A 端固定，B 端为铰支；BC 为正方形截面杆边长110a mm =，C 端为铰支。

AB 、BC 两杆可独自发生弯曲变形而互不影响，材料均为3A 钢，2210/E GN m =。

已知3l m =，压力150P kN =，规定的稳定安全系数 2.5w n =，试校核结构的稳定性。

解：P 作用下，两段的压力均为N P =，现分别求出各自的临界压力AB 段:,443.140.7, 1.53 4.5,0.08,6464d l m I πμ==⨯===⨯(与方向无关) 29423.1421010 3.140.08420(0.74.5)64lj P kN ⨯⨯=⨯⨯=⨯ 420[]1681502.5lj WP P kN kN n ===>，即[]P P <，AB 段安全 BC 段，4411.0,3,0.111212a l m I μ====⨯（与方向无关）29423.142101010.112404312lj P kN ⨯⨯=⨯⨯= 2404[]9621502.5lj WP P kN kN n ===>，即[]P P <，BC 段安全 综上分析，结构安全。

12-9 四根等长杆相互铰接成正方形ABCD ，并与BD 杆铰接如图所示。

各杆的弹性模量E 、截面积A 极惯性矩I 均相等。

当（1）C 两点处受一对拉力P ，图（a ）；（2）AC 两点处受一对压力P ，图（b ），分别求达到临界状态的最小载荷P 。

DD (a)(b)题12-9图解：()a 图示P 作用下，AB BC CD DA 、、、四杆受拉，BD 受压，若按受压失稳与否确定P 值，只需考查BD杆：, 1.0,BD l P P μ==（压）222[]()2lj EI EIP P l aππμ===，即2min 22EI P a π= ()b 图示P 作用下，AB BC CD DA 、、、四杆受压，N P =（压），BD 受拉。

22, 1.0,[]2EIl a AB BC CD DA P a πμ====、、、，即2min 2EIP a =12-10 图示结构中，CF 为铸铁圆杆，直径110d cm =，许用应力[]120MPa σ=，弹性模量120E GPa =。

BE 为3A 钢圆杆，直径25d cm =，许用应力2[]160,200/MPa E GN m σ==，若横梁可视为刚性，试用折减系数法求载荷P 的许用值。

题12-10图解：问题是一次超静定的，设BE 杆中拉力为B N ，FC 杆中压力为C N 有平衡条件：2460B C N N P +-=，且有变形条件：12B C l l ∆=∆ 虎克定律代入得：222122000.0521200.1B C N N ⨯⨯=⨯⨯ （公共项消掉未写）即 4.8C B N N =，代回平衡方程中，解得0.283, 1.36B C N P N P == 若BE 杆完全发挥力学性能，则23.14[]1600.053144B B B N A MPa kN σ=⋅=⨯⨯= 此时，11100.283BN P kN == 若FC 杆完全发挥力学性能，12[],800.1/4C C C lN A iμσλ⨯====查表得0.26ϕ=，有23.14[]0.261200.12454C C C N A MPa kN ϕσ=⋅=⨯⨯⨯= 此时，1801.36CN P kN == 综合两种情况，取[]180P kN =（较小者）。

12-11 工字钢压杆两端铰支，杆长3l m =，承受压力160P kN =，若许用应力[]140MPa σ= ，试用折减系数法选折工字钢的型号。

解： 1.0,3l m μ==，稳定条件为[][]W PAσσϕσ=≤=，因为A 与ϕ均未知，只能试算： 取0.5ϕ=，则 3261601022.864[]0.514010P N A cm Paσ⨯≥==⨯⨯ 查型钢表，选取16号，2min 26.1, 1.89A cm i cm ==1300158.71.89liμλ⨯===，查表时按160取，得0.272ϕ'= 得到 [][]38.1W MPa σϕσ'==。

工作应力为321601061.326.1P NMPa A cmσ⨯=== []W σσ>，不合理，所设0.5ϕ=过大，再取时，减小ϕ，取1(0.50.272)0.382ϕ=+≈，则 230[]PA cm ϕσ≥=， 选取20a 工字钢，min35.5 2.12A i cm ==，，321601045.135.5lN MPa i cmμλ⨯=== []W σσ<，安全。

所以，经计算校核，应选用20a 号工字钢。

12-12 两端铰支的等截面圆杆，杆长2,l m =直径50d mm =，材料的比例极限200p MPa σ=，弹性模量5210E MPa =⨯，线膨胀系数7125101/C α-=⨯︒。

设安装时的温度为20C ︒，求温度升高到多少度时此圆杆将失稳。