平方差完全平方公式•选择题（共1小题）二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方：X 2+4X +=(X + ) 2 配方：x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算：(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ；(4) .10 .化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算：20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算：◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ，比逹,普，其中整式有（ A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知：x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式：(x - 1) (x+1) =x 2 - 1； (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ； (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得：(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ；(其中n 为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足x 丄=3，则x 2丄的值为 ___________________________20 . （2007?天水）若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a 2±2ab+b 2= （a ± b ） 2.例如：（x - 1） 2+3、（x - 2） 2+2X 、（*X -2） 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a 2+ab+b 2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +，223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2，求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1，求下列各式的值：(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知：x+y=3, xy=2，求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨）⑴肖〔吟）（吟）（1+盘）29 -宀11x+1=0，求x2+；的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点：整式.分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断.解答：解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评：主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法.多项式是若干个单项式的和，有加减法.二.填空题（共3小题）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点：多项式.专题：计算题.分析：根据单项式的系数和次数的定义，多项式的定义求解.解答：解：由题意可知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母x, y的四次单项式科•（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2,x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯—A）.点评：考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. （2004?南平）把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点：多项式．分析：按照x 的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幕排列是x3+2x2—3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题(共26 小题)5．计算：(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式；完全平方公式．分析：(1) (x—y)与(x+y)结合，可运用平方差公式，其结果再与(x2+y2)相结合，再次利用平方差公式计算；( 2 )先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2)，=( x2—y2)( x2+y2)，=x4—y4；( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c)，2—( 2b—c)2，=a=a2—4b2+4bc—点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是解题的关键．平方差公式：(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式：(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算：1232- 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可.解答：解：1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算：2004 20042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)]，再运用平方差公式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式．专题：计算题．分析：(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式，利用平方差公式计算；(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算．解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]，=x2-y2+4y- 4；(3 )x,=(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考点：平方差公式.分析：把(m+n)看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是- 2 与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4. 点评：本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把x- 2y 当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，2- 4xy+4y2-=x2.m点评：本题主要考查了平方差公式，整体思想的利用比较关键．12．计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2，(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13 ．计算：20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)，=2008+2007+20 06+2005+… +2+1，=2017036．本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1 ，所有两数的和组成自然数求和．14 ．利用乘法公式计算：◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评：考点：平方差公式；完全平方公式.分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94 写成2X 47 后，可用完全平方公式计算.解答：解：①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2；②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知：x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差公式的应用.解答：解：a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值，为5.16 .观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2- 1；(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得：(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ；(其中n为正整数)；(2)根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空；(2 )先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答：解：(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得：2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式，关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式，点评:考点：专题：分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（1 -丄）2 =1 —2寺（1-解答: 丄22--,依此类推，从而得出结果.解：原式=（1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ；）考点： 完全平方公式.专题： 计算题.分析： 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答： 解：由题意得，1 o x+—=3,两边平方得：«+2+ ：=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为：7.点评： 此题考查了完 全平方公式的知识，掌握完全点评: （1+二）24-■）.1210-■）210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用，是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . （2012?黄冈）已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题.20 . （2007?天水）若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1）2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为：2.点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a± b）2.例如：（x- 1）2+3、（x-2）2+2X、（丄x-2）2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3 )通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值. 解答：解：(1)X2- 4x+2的三种配方分别为：2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . '：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:'：)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点：完全平方公式.分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式，即可求值.解答：解：•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严-命的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a -b= - 2代入计算即可.解答：解：原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点：完全平方公式.分析：根据完全平方公式把（x+y） 2 和（x- y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值.解答：解：由题意知：(x+y)2_x2+y2+2xy_49①，(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②，①+②得：(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25；①-②得：4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评：25 .已知考点：分析：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ；的值，再X根据完全平方公式整理成（X -丄）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算.解：•••二4,X••• x2+ - =142 ，(x-—)X2=12,点评：26 .已知考点：--x -二= .\本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析：利用完全平方公式巧妙转化即可.解答：解：••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2，求a2+b2, (a- b) 2的值.考点：完全平方公式.分析：先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答：解：T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5；•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评：本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点：完全平方公式.专题：整体思想.分析：先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答：点评：29. x2考点：分析：代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解：•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解：••• X M 0 ,• X+ 二亠，X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式，关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11，利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用， 两数的平方和， 再加上或减去 它们积的2倍， 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十！的形式，代 入求值. 解:（ 1） /宀 X =（X -丄）2 - 2， X =42 - 2， =14;2 30 .已+， (1)y H ；X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点：分析：解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。