平方差完全平方公式一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x 2+x ﹣，，，其中整式有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x 2﹣3x+5是 _________ 次 _________ 项式．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x ，y 的四次单项式 _________ ．（答案不唯一，只要写出一个）4．（2004•南平）把多项式2x 2﹣3x+x 3按x 的降幂排列是 _________ ．5．（1999•内江）配方：x 2+4x+___=(x+___）2 配方：x 2-x+ ___=(x-21）2 三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（2）（a ﹣2b+c ）（a+2b ﹣c ）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x ﹣2y+z ）（﹣x+2y+z ）．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y ）2﹣（x ﹣y ）2；（2）（x+y ﹣2）（x ﹣y+2）；（3）×；（4）．10．化简：（m+n ﹣2）（m+n+2）．11．（x ﹣2y ﹣m ）（x ﹣2y+m ）12．计算（1）（a ﹣b+c ﹣d ）（c ﹣a ﹣d ﹣b ）；（2）（x+2y ）（x ﹣2y ）（x 4﹣8x 2y 2+16y 4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利用乘法公式计算：①（a ﹣3b+2c ）（a+3b ﹣2c ）15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=_________；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为_________．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平方差完全平方公式参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（1999•烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整式的概念，紧扣概念作出判断．解答：解：整式有x2+x﹣，共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．二．填空题（共3小题）2．（2011•湛江）多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．考点：多项式．专题：计算题．系数和次数的定义，多项式的定义求解．解答：解：由题意可知，多项式2x2﹣3x+5是二次三项式．故答案为：二，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2010•毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和∴x3y，x2y2，xy3等都是四次单项式．解答：解：根据四次单项式的定义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯一）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．考点：多项式．分析：按照x的次数从大到小排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．三．解答题（共26小题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）考点：平方差公式；完全平方公式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运用平方差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利用平方差公式计算；（2）先运用平方差公式，再应用完全平方公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平方差公式与完全平方公式，熟记公式是平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．6．计算：1232﹣124×122．考点：平方差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利用平方差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232﹣12），=1．点评：本题考查平方差公式的实际运用，构造成平方差公式的结构形式是解题的关键．7．计算：．考点：平方差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平方差公式代入原式计算可得答案．解答：解：，，=，=2004．点评：本题考查平方差公式的实际运用，注意要构造成公式的结构形式，利用公式达到简化运算的目的．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运用平方差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，注意运用公式计算会减少运算量．9．运用乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）×；考点：平方差公式．专题：计算题．分析：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利用平方差公式进行计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利用平方差公式以及完全平方公式进行计算；（3）×可以转化成（80﹣）（80+）的形式，利用平方差公式计算；（4）可以转化为（20﹣）2进行简便计算．解答：解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2=（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y），=4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，=x2﹣y2+4y﹣4；（3）×，=（80﹣）（80+），=；（4）=（20﹣）2=400﹣2×20×+，=．点评：本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用，利用完全平方公式以可以使计算更加简便．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．考点：平方差公式．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，互为相反项是﹣2与2，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），=（m+n）2﹣22，=m2+n2+2mn﹣4．点评：本题主要考查了平方差公式的应用．运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平方差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成一个整体，利用两数的和乘以这两数的差，等于它们的平方差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m），=（x﹣2y）2﹣m2，=x2﹣4xy+4y2﹣m2．点评：本题主要考查整体思想的利用比较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．考点：平方差公式．分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题．解答：解：原式=20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+2006+2005+…+2+1，=2017036．点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成自然数求和．14．利用乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．考点：平方差公式；完全平方公式．分析：①可用平方差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再按公式解答，②把94写成2×47后，可用完全平方公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=400．点评：本题考查了平方差公式，完全公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作一个整体是运用平方差公式的关键；②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．5考点：平方差公式．分析：本题是平方差公式的应用．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20把x+y=4代入求得x﹣y=5．点评：运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．把x+y=4代入求得x﹣y的值，为5．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上面各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=x m﹣1；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．考点：平方差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数比左边x的最高指数大1，利用此规律求解填空；（2）先根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）而得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进行计算即可．解答：解：（1）（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1）=x m﹣1；（2）根据上面的式子可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），∴1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1）=270﹣1．点评：本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．考点：平方差公式．分析：根据题意，整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简，然后再和后面的因式进行运算．解答：解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），（4分）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），=（34﹣1）（34+1）（38+1）（364+1），=（38﹣1）（38+1）（364+1），=（364﹣1）（364+1），（8分）=（3128﹣1）．（10分）点评：本题主要考查了平方差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，18．．考点：平方差公式．专题：计算题．分析：由平方差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从而得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）=1﹣．点评：本题考查了平方差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握．19．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平方，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平方公式的平方公式的展开式的形式是解答此题的关键，属于基础题．20．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．解答：解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．21．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点：完全平方公式．专题：阅读型．分析：（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．解答：解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，∴a+b+c=4．点评：本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．22．（2004•太原）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．考点：完全平方公式．分析：先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值．解答：解：∵（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，∴a2+b2+2ab=1，a2+b2﹣2ab=25．∴4ab=﹣24，ab=﹣6，∴a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab=1﹣（﹣6）=7．点评：本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式展开后建立方程组，再整体代入求解．23．（2001•宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．考点：完全平方公式．分析：对所求式子通分，然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式，把a﹣b=﹣2代入计算即可．解答：解：原式==，∵a﹣b=﹣2，∴原式==2．点评：本题考查了完全平方公式，利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．考点：完全平方公式．分析：根据完全平方公式把（x+y）2和（x﹣y）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值，相减即可求出xy的值．解答：解：由题意知：（x+y）2=x2+y2+2xy=49①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=1②，①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，=2（x2+y2），=49+1，=50，∴x2+y2=25；①﹣②得：4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣1=48，点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的关键．25．已知x+=4，求x﹣的值．考点：完全平方公式．分析：把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．解答：解：∵，∴，∴x2+=14，∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，∴x﹣=．点评：本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．考点：完全平方公式．分析：利用完全平方公式巧妙转化即可．解答：解：∵x+y=3，∴x2+y2+2xy=9，∵xy=2，∴x2+y2=9﹣2xy=9﹣4=5．点评：本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．考点：完全平方公式．分析：先把a+b=3两边平方，然后代入数据计算即可求出a2+b2的值，根据完全平方公式把（a﹣b）2展开，再代入数据求解即可．解答：解：∵a+b=3，∴a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9﹣2×2=5；∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣2×2=1．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键，整体代入思想的利用使计算更加简便．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．考点：完全平方公式．专题：整体思想．分析：先根据多项式乘多项式的法则把（x+2）（y+2）展开并代入数据求出xy的值，再根据完全平方公式把x+y=2两边平方，整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值．解答：解：∵（x+2）（y+2）=5，∴xy+2（x+y）+4=5，∵x+y=2，∴xy=﹣3，∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=22﹣（﹣3）=7．点评：本题考查了完全平方公式，运用整体代入思想，熟练对代数式进行变形是解题的关键．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．考点：完全平方公式．分析：先把x2﹣11x+1=0两边同除x（由题意可知x≠0），得到x+=11，然后把该式子两边平方即可得到x2+的值．解答：解：∵x≠0，∴x+，（x+）2=121，∴x2+2+，∴x2+．点评：本题考查了完全平方公式，关键是知道隐含条件x≠0，x2﹣11x+1=0两边同除x得到x+=11，利用x和互为倒数乘积是1，利用完全平方公式来进行解题．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．考点：完全平方公式．分析：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．使分式中含有的形式，代入求值．解答：解：（1），=（x﹣）2﹣2，=42﹣2，=14；（2），=，=，=．点评：本题主要考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式，并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点．。