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例：A包含a, b, c三个元，A的乘法由下表规定，证明：A是一个群
证明： : G A, G {全体整数} 普通加法, A {a,b,c}
(x) a，若 x 0 (3), (x) b，若 x 1 (3)
abc aa b c
(x) c，若 x 2 (3), 显然是满射
三、同态核
思考题1：G ~ G ， (e) e ，那么 1(e ) e ?
例1 G (Z, ) 与 G {0,1, 2, 3}, a b (a b) mod 4 同态
: x x mod 4, (x Z )
e (0) 0 mod 4 0
1(e ) { , 8, 4, 0, 4, 8, }
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
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定理2
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G

~
G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
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推论1：设
G
与G
是有限群，且

G~G
，则 | G | 整除 | G | .
| G || G / Ker | | G |
推论2： 循环群的商群也是循环群.
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五、群的同构定理
定理5 设 是群 G 到群G 的同态满射 ，又 Ker N G, N (N ) ，则
Ker {全体偶数}2019/9/3011:56引理1
若 是群 G 到群 G 的同态映射
，则 是单射 Ker {e}.
证明：" "
a G,(a) (ea) (e)(a) (e) e
n Ker , (n) (e) e 而 是单射
(x y) (x y) b
(x) (y) a b b
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例2
G {全体正负奇数}， G {1, 1}
代数运算均为数的普通乘法
: 正奇数
1
负奇数
-1
是 G 到 G 的同态满射，G ~ G.
G 是群，而 G 不是群.
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G/N G/N
证明：取 : aN (a)N
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例4 N G, H G, N H ，则
G/H G/N H/N
证明：

G ~G / N
Ker N H G,
(H) H / N G/ N
G / H G / N H / N
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a G,n Ker ,
(ana1 ) (a) (n) (a)1
(a)e (a)1 (a) (a)1 e
ana1 Ker
Ker G.
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四、群同态基本定理
定理3 群 G 同它的每个商群 G / N 同态. ( : a aN , a G)
n e, Ker {e}.
" " 若 (a) (b) ，则
(a) (b)1 (ab1 ) e ab1 e a b
是单射.
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引理2
若 是群 G 到群 G 的同态满射 ，则 Ker G.
证明：
G ~ G,{e } G Ker 1(e ) G
注： Ker N H G, (H) H / N
定义4 称群 G 到商群 G / N 的同态满射
: a aN, a G
为 G 到 G / N 的自然同态.
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定理4 （群同态基本定理）
群 G 与 G 同态， 是 G 到 G 的同态
满射，则 G / Ker G.
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
e (e) 是 G 的左单位元； (a1) (a) (a1a) (e) e ,
(a1 ) 是 a (a) 的左逆元
G 也是群.
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证明：取 ： aKer a (a) (a G)

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说明：
定理3说明任何群都同它的商群同态；
定理4说明一个群G 同另一个群 G 同态， 则这个群 在同构意义下是 G 的一个商群.
因此，在同构意义下，定理3与定理4的意 思是：每个群能而且只能同它的商群同态.
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定义3
设 是群 G 到群 G 的同态映射,
e 是 G 的单位元. 称 e 在 G 中的所有
逆象组成的集合为同态映射 的核, 记作
Ker 1(e ) {a G | (a) e }.
例3 G ( Z , ),G (R, )
: n (1)n 是 G 到 G 的同态映射
bb c a
下面证明：是一个同态满射
cc a b
注意：G和A的代数运算都适合交换律，只需证明(x y)=(x) (y)
(1) x 0 (3), y 0 (3), x y 0 (3)
(x y) (x y) a, (x) ( y) a a a
(2) x 0 (3), y 1 (3), x y 1 (3)
近世代数
第二章 群论 §9 群同态、同构
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一、定义1
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为