第三章 正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
( ) 定义1 设(G, )和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b)(∀a,b ∈ G（) 即ϕ保运算） 则称ϕ是同态映射，当ϕ是满射时，称G与G同态，记为G ∼ G 当ϕ是双射时，称G与G同构，记为G ≅ G，也称G为G的同构像。 G = G时，同态，同构映射ϕ分别称称为自同态和自同构映射
一 群的第一同构定理
定理1 设σ：G → G是群同态满射，Kerϕ ⊆ N G, N = ϕ(N )，
则 G/N ≅G/N
推论 （第一同构定理）设H G且K G，若K ≤ H，那么 G/H ≅G/K H /K
若K 和H中没有包含关系，则
( ) G / HK ≅ G / H HK / H G / HK ≅ G / K HK / K
ϕ
Z ≅ Z。
注：两个群(Z , +), (Z , )没有实质性差异，其中一个是另 一个以不同符号和名称实现出来的结果。
2 子群在同态映射下的象与原象
定理2 设ϕ : G → G是一个同态映射，则
(1) H ≤ G时，H ϕ(H ) ≤ G；ϕ |H : H → ϕ(H )为
满同态映射；
(2) H ≤ G时，ϕ −1(H ) ≤ G;ϕ |ϕ−1(H ):ϕ −1(H ) → H为
二 群的第二同构定理
定理2 （第二同构定理） 设H ≤ K且K
(1) H ∩ K H (2) HK / K ≅ H /(H ∩ K )
G，那么
例2 证明S4 / K4 ≅ S3
三 群的第三同构定理
定理3 （第三同构定理） 设G是群，N G, H ≤ G / N，那么
(1) 存在G的唯一子群H ⊇ N, H = H / N (2)当H G / N时，有唯一的H G, H = H / N,
?
⇒N G
4. 同态映射下的正规子群
定理2 设ϕ : G ∼ G，则(1) N G ⇒ ϕ(N ) G； (2) N G ⇒ ϕ −1(N ) G
5．子群之积
定理3 若群G的一个正规子群和一个子群之积仍是G的子群， 两个正规子群之积仍是正规子群，也就是说，若H ≤ G, N ≤ G， 则
结论3：在群之间的同构“ ≅ ”做关系时，“ ≅ ”必是 一个等价关系。
例4 设两个群(Z , +)和(Z , )，其中：
{ } Z = { , −3, −2, −1, 0,1, 2,3, }, Z = 10n n ∈ Z
{ } = ,10−3,10−2 ,10−1,100 ,101,102 ,103, ，
3．正规子群的判定
定理1 设G是一个群，N ≤ G，则 N G ⇔ ∀a ∈ G, aNa−1 ⊆ N
注： 定理1可改为：设G是一个群，N ≤ G，则
N G ⇔ ∀a ∈ G,∀x ∈ N , axa−1 ⊆ N
H ≤G
事实上，设H ≤ G，则下面条件等价：
(1) aH = Ha,∀a ∈G； (2) aHa−1 = H ∀a ∈G； (3) aHa−1 ⊆ H ∀a ∈ G； (4) aha−1 ⊆ H ∀a ∈ G,∀h ∈ H
同态映射。
3 单射同态的判定
定理3 同态映射ϕ : G → G为单射 ⇔ ϕ－1(e )= {e}。
三 应用举例
例5 证明不循环群6阶群G一定满足G ≅ S3。
作业

P86：习题3.1, Ex.1,3
§2正规子群和商群
(Normal Subgroups and Quatient groups)
例2 考虑：∀a ∈ Sn ,∀x ∈ An , axa−1是一个偶排列，所以 axa−1 ∈ An，于是An Sn
例3 在S4中，K4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}， K4 S4
问题：
已知“子群”的概念具有传递性—N ≤ H , H ≤ G ⇒ N ≤ G， 那么“不变子群”是否也具有传递性？即若N H且H G
例1 在S3中，N = A3 = ((123)) = {(1), (123), (132)}, N S3， 但是H1 = {(1), (12)} ≤ S3，(13)H1 ≠ H1(13)，所以H1不是 S3的正规子群。
命题1 如果H ≤ G且[G : H ] = 2，则H G。 更一般地，在Sn中，[Sn : An ] = 2 ⇒ An Sn
注：
(1)∀m ∈ Z, a ∈ G, (aN )m = am N； (2)由Lagrange定理，| G |< +∞，当N G时，| G / N |= | G | = [G : N ]；
|N|
(3)在上述讨论中，如果为加群，则符号要做相应的改变，即从"aN "
变为"a + N "
2．商群的应用
定义1 设ϕ : G → G是一个群同态映射，(即ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)
∀a,b ∈ G)，那么G的单位元e的全部原象（逆象）作成的集合
Kerϕ {x ∈G | ϕ(x) = e}叫做ϕ的核，记为Kerϕ。G的所有元素 在ϕ下的象作成的集合 Imϕ {ϕ(x) | x ∈ G}叫做ϕ的值域。
(1)若N G ⇒ NH ≤ G且N NH , H ∩ N H (2)若H G且N G ⇒ HN G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H ,∀n ∈ N都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N (H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H在G中 的正规化子，试证H N (H ) ≤ G。
1.2 讨论
(1) 定理1中条件满足时，结论成立.
例1 G = Z ,G = {0，1，2，3}，a b = r(a + b除以4的余数)，
则ϕ（a）= （r a除以4的余数）是G → G同态映射，所以
(G, )是群。
(2)定理1中条件部分满足时，结论不成立
例2 定理中的满射不可以去掉：G = (Q+ ,×)为一个群;
注：
(1)上述同态满射x ⎯τ⎯→ xN称作群的自然同态；
τ
(2)由定义1知，自然同态G ~ G / N的同态核：Kerτ = N。
ϕ
定理2 （同态基本定理）设G和G是同态的群：G ~ G，
则N = Kerϕ G且G / N ≅ G
例1 设GLn (R) = {A∈ M n (R) || A |≠ 0}, SLn (R) = {A∈ M n (R) || A |= 1}，
推论 Sn只有一个非平凡正规子群An
定理 6 有限交换群是单群的充分必要条件是 它是素数阶群。
作 业：
P95：习题3.2 1，3－4，6－7 （2，5作为例题讲解）
§3群同态基本定理
（The Elementary Theorem of Group Homomorphism)
一 群同态象和同态核
定理5 G为pn阶交换群，p是素数，则G有p阶元素，从而 有p阶子群。
注：G为非交换群时，定理5仍成立。 推论 pq( p < q,素数)阶交换群必为循环群。
三 正规群应用
3.1 Hamilton群
定义 设G为非交换群，如果G每个子群均为它的交换子群， 则称G为一个Hamilton群。
例5 四元数是一个最小阶的Hamilton群。
G = (2Z + , ), a b = 2是一个半群，则ϕ(x) = 2是
一个 G → G（非满射）同态映射，但(G, )是群， (G, )不是群。
( 3) 定理1的逆命题：(G,o)和(G,o)均为代数系统，
G ∼ G，则(G,o)为群时，(G,o)未必为群。
例3 G = {2n +1| n ∈ Z},G = {−1.1}关于数的乘法分别做半
二 商群
1. 商群的定义
设N G，任取2个陪集aN ,bN。则
(aN )(bN ) = a(Nb)N = abNN = (ab)N，
即
(aN )(bN ) = (ab)N
称上述二式为陪集的乘法。
结论 陪集的乘法是全体陪集上的一个代数运算。
定理4 设G为群，N G。则N的全体陪集关于陪集的乘法 做成一个群，记为G / N。
ϕ
G
G
τ
σ
G/ Kerϕ
ϕ
推论1 设G和G为两个有限群，如果G ∼ G，则| G | | G |。
三 循环群的同态象
ϕ
定理3 设G和G为两个群，且G ∼ G，若G为循环群， 则G也为循环群。
推论2 循环群的商群仍为循环群.
推广 交换群的满同态象仍为交换群；交换群的商群 也是交换群.
四 同态映射下两个群的子群之间的关系
二 群的同态映射的象
1 群在满同态映射下的映象
1.1 定理1 满同态映射把群映射为群，即G如果是一个群， G是一个带有一种代数运算的代数体系，且G ∼ G，则G也是 一个群。
推论 设ϕ : G → G为一个同态映射，e是群(G, )的单位元，则
(1) e = ϕ(e)为G的单位元， (2) ∀a ∈ G,ϕ(a−1) = ϕ(a)−1
3.2 单群
定义 阶大于1且只有平凡正规子群的群称为单群。
例6 素数阶群均为单群，对称群Sn (n ≥ 3)不是单群。 A2 = {(1)}, A3 = {(1), (123), (132)} =< (123) >, A4 = K4
均不是单群，但n ≥ 5时，为An单群。