第十章 曲线积分与曲面积分（第三部分）曲线积分习题解答一、对弧长的曲线积分1．计算⎰=Lyds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20 ,0(π≤≤>t a ．解 由于⎩⎨⎧-=-=)c o s 1()s i n(:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而dt t a dt y x ds 2122)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t故 ⎰⎰π-⋅-==2 021)c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L⎰π=2 0322sin 4dt ta ⎰π= 0 32sin 8udu a⎰π=20 32sin 16udu a2232a =. 2．计算曲线积分⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22．解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )22(π≤θ≤π-，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故⎰+Lds y x 22⎰ππ-⋅ρ=22 ads ⎰ππ-θ⋅θ=22 cos ad a ⎰πθθ=20 2cos 2d a22a =.3． 计算⎰+=Ly x ds eI 22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中)0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==；)40( , :2π≤θ≤==a r AB L ；)20( , :3a x x y OB L ≤≤==.故 ⎰⎰⎰+++++=322222122 L y x L y x L y x ds eds eds eI⎰⎰⎰'++θ'++'+=π22240 22 02)(1)()0(1a xa axdx x ed a a edx e⎰⎰⎰+θ+=π2240 02a xaaxdx ed ae dx e2)42(-π+=a e a . 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =，其中π≤≤20t ，它的线密度222) , ,(z y x z y x ++=ρ. 求此线关于z 轴的转动惯量z I .分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(表示，然后计算积分即可。
解 所求的转动惯量为⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(，而dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=，故 ⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(⎰+++=Lds z y x y x 22222))((⎰π++=2 0222222)(dt k a t k a a )43(32222222k a k a a π++π=. 二、对坐标的曲面积分1. 计算曲线积分⎰---=Lx dy y y dx y e I ])sin ()cos 1[(，其中L 为区域x y x sin 0 ,0≤≤π≤≤的边界，取逆时针方向。
解 令)c o s1(y e P x -=，)s i n (y y e Q x --=．则 y e y P x sin =∂∂，)sin (y y e xQx --=∂∂． 即xQ y P ∂∂≠∂∂. 由于π≤≤≤≤x x y D 0 ,sin 0 :． 故利用格林公式，得⎰⎰∂∂-∂∂=Ddxdy y Px Q I )(⎰⎰-=Dx dxdy ye ⎰⎰π-=xx ydy e dx sin 0)1(51π-=e . 2. 计算曲线积分[]⎰---=Lx dy y y dx y e I )sin ()cos 1(．其中L 为曲线x y sin =上从点)0 ,(πA 到点)0 ,0(O 的一段弧。
解 补直线段OA L ='：0=y ，x 从0变到π；并设闭曲线L L '+所围区域为D （如图所示），则由Green 公式，得：⎰'+---LL xdy y y dx y e ])sin ()cos 1[( ⎰⎰∂∂-∂∂=Ddxdy y Px Q )(⎰⎰-=Dx dxdy ye ⎰⎰π-=xx ydy e dx sin 0)1(51π-=e . 又[]0)s i n ()c o s 1( =---⎰'Lxdy y y dx y e （OA L ='：0=y ，x 从0变到π）， 故 []dy y y dx y e I x L L L )sin ()cos 1()( ----=⎰⎰''+0)1(51--=πe )1(51π-=e . 3. 设L 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分⎰+-Lyx xdyydx 224. 分析 因224) ,(y x y y x P +=，224) ,(y x xy x Q +-=，则22222)4(4y x y x y P +-=∂∂，22222)4(4y x y x x Q +-=∂∂. 故xQy P ∂∂=∂∂. 由于) ,(y x P 与) ,(y x Q 在原点)0 ,0(处不连续，因此可知：（1）若给定的曲线L 所围成的闭区域不包括原点)0 ,0(，则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线L 所围成的闭区域包括原点)0 ,0(，那么P 、Q 在L 所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。
此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线1L ，在1L L +上应用Green 公式，由此将L 上的曲线积分转化为1L 上的曲线积分。
解 因224) ,(y x y y x P +=，224) ,(y x xy x Q +-=，则22222)4(4y x y x y P +-=∂∂，22222)4(4y x y x x Q +-=∂∂. 故xQy P ∂∂=∂∂. （1）若给定的曲线L 围成的闭区域不包括原点)0 ,0(. 由xQy P ∂∂=∂∂知曲线积分⎰+-Ly x xdy ydx 224与路径无关，故04 22=+-⎰L y x xdyydx . （2）若给定的曲线L 所围成的闭区域包括原点)0 ,0(，则取一条特殊的有向曲线22214 :ε=+y x L （0>ε充分小），规定1L 的方向为逆时针（如右图所示）。
设)(1L L -+所围城的区域为D ，则在)(1L L -+上应用Green 公式，得0)(4122=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰-dxdy yPx Q yx xdyydx DL L , 所以⎰⎰+-=+-1 22 2244L Lyx xdyydx y x xdy ydx . 而 ⎰⎰-ε=+-1122214L L xdy ydx y x xdy ydx π-=ε-=⎰⎰Ddxdy 212.故π-=+-⎰Lyx xdyydx 224. 或利用参数方程计算：令1L ：θε=cos x ，θε=sin 2y ，θ从0到π2. 所以 ⎰⎰+-=+-1 22 2244L Ly x xdyydx y x xdy ydx π-=θεθ+θε-=⎰π2 0 2222)cos (sin 21d.4. 设在半平面0>x 内有力)(3→→→+ρ-=j y i x kF 构成力场，其中k 为常数，22y x +=ρ，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。
分析 由于场力沿路径所作的功为⎰ρ-ρ-=Lydy k xdx k W 33,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。
证明 场力沿路径所作的功为⎰ρ-ρ-=Lydy k xdx k W 33. 令233)(y x kx x k P +-=ρ-=，233)(y x kyy k Q +-=ρ-=；则 yPy x kxy x Q ∂∂=+⋅=∂∂25)(23. 由于右半平面为单连通区域，且yPx Q ∂∂=∂∂，所以场力所作的功与所取的路径无关。
5．设函数)(x ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线C 上，曲线积分⎰++C y x dyx xydx 24)(2ϕ的值为常数。
(1) 设L 为正向闭曲线1)2(22=+-y x ，证明： 0)(224=++⎰L y x dyx xydx ϕ；(2) 求函数)(x ϕ；(3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求⎰++C y x dyx xydx 24)(2ϕ．(1) 证 设I yx dyx xydx L =++⎰24)(2ϕ，闭曲线L 由2,1,=i L i 组成。
设0L 为不经过原点的光滑曲线，使得110-L L 和20L L 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线2,1,=i C i ，由曲线积分的性质和题设条件知⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+=+=++110022124)(2L L L L L L L y x dyx xydx ϕ021=-=-=⎰⎰I I C C ．所以，⎰++14222)(L y x xydydx y ϕ⎰++=24222)(L y x xydydx y ϕ，即02242=++⎰Cy x xydydx y )(ϕ．(2) 解 令xQy P ∂∂=∂∂．从而有22425224324)(22)()(4))((y x xy x y x x x y x x +-=+-+'ϕϕ， 解得，2)(y y -=ϕ.(3) 解 设D 为正向闭曲线1:24=+y x C a 所围区域，由(1)⎰++C y x dy x xydx 24)(2ϕ⎰+-=aC yx dy x xydx 2422，利用Green 公式和对称性，0)4(222242=-=-=+-⎰⎰⎰⎰DC C dxdy x dy x xydx y x dyx xydx aa.。