复数
高考大纲
内容
明细内容
复数的概念 复数相等的充要条件 复 数 复数的代数形式及几何意义 复数代数形式的四则运算 复数代数形式加、减运算的几何意义
了解 √ √
要求层次 理解 √ √
√
掌握
思维导图
模块一：复数的概念
1.虚数：
1）虚数的单位为： i 且 i2 1 ；
2）实数可以与 i 它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立． 3） i 与 1 的关系： i 就是 1 的一个平方根，即方程 x2 1 的一个根，方程 x2 1 的另一个 根是 i ． 4） i 的周期性： i4n1 i ， i4n2 1 ， i4n3 i ， i4n 1 ．于是就有
z1z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i 。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所
得的结果中把 i2 换成 1 ，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1） z1 z2 z3 z1z2 z3
2） (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
范围是 ( )
A． (,1)
B． (1, )
C． (1, )
D． (, 1)
模块三：复数的四则运算
1.复数 z1 与 z2 的和的定义： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i 2.复数 z1 与 z2 的差的定义： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i 3.交换律： z1 z2 z2 z1 4.结合律： (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) 5.乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2 c di ( a 、 b 、 c 、 d R )是任意两个复数，那么它们的积
或向量 OZ
是向量的几何表示．
注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量 OZ 应特别注意它是以原点为起点的，否
则就谈不上一一对应，因为复平面上与 OZ 相等的向量有无数多个．
例题讲解
考点 2：复数的几何意义
【例题 1】（2019 海淀区期中）在复平面内，复数1 i 对应的点位于 ( )
4.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：
对于复数 a bi(a,b R) ，当且仅当 b 0 时，复数 a bi(a,b R) 是实数 a ；当 b 0 时，复 数 z a bi 叫做虚数；当 a 0 且 b 0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就是实 数0 ．
5.两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果 a ， b ， c ， d R ，那么 a bi c di a c 且 b d ．特殊地，当 a bi 0 时， a b 0 ．
6.复数模的性质：
1） z1 z2 z1 z2
3） z1 z2 z3 z1z2 z1z3
7.复数除法定义：满足（c di）(x yi) (a bi) 的复数 x yi ( x ，y R )叫复数 a bi 除以复数 c di 的
2）
z1 z2
z1 z2
z2
0
3） z z
4） z1 z2 2 z1 z2 2 2 z1 2 2 z2 2
7.共轭复数： 定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数 z 的共轭
用 z 表示．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
数的性质：设 z a bi a,b R ，则（1） z z 2a ；（2） z z 2bi ；（3） z z ．
例题讲解
考点 1：复数的概念
【例题 1】已知 i 为虚数单位，则 i i2 i3 i2019 等于 ( )
A． i
B．1
i
D． 1
【例题 2】（2018 东城区期末）下列复数为纯虚数的是 ( )
A．1 2i
B．1 2i
C． 2 i
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D． 2 i
模块二：复数的几何意义
1.共轭复复平面、实轴、虚轴：
概念：复数 z a bi a,b R 与有序实数对 (a ，b) 是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的 横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z a bi a,b R 可用点 Z (a ，b) 表示，这个建立了直角坐标系来表
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例题 2】（2019 西城区一模）若复数 z 1 i ，则在复平面内 z 对应的点位于 ( ) 2i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例题 3】（2019 顺义区一模）若复数 (1 i)(a i) 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值
A．1 i2
B． i i2
C．1 1 i
D． (1 i)2
【例题 3】（2018 西城区一模）若复数 (a i)(3 4i) 的实部与虚部相等，则实数 a ( )
A．7
B． 7
C．1
D． 1
【例题 4】（2017 西城区二模）在复平面内，复数 z 对应的点是 Z (1, 2) ，
则复数 z 的共轭复数 z ( )
示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实
数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 (0，0) ，它所确定的复数 z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.几何表示：复数
z
a bi
一一对应 复平面内的点 Z (a, b)
i4n i4n1 i4n2 i4n3 0 ．
实数a(b 0)
2.数系的扩充：复数
a
bi
虚数a
bi(b
0)
纯虚数bi(a 0)
非纯虚数a
bi(a
0)
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3.复数的定义：
基本概念：形如 a bi （ a ，b R ）的数叫复数， a 称为复数的实部， b 称为复数的虚部．全体 复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示．复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) ，把复 数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．