§7 复数的常用化简式秒杀知识点公式1：2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，2(1i)(1i)=+-． 公式2：1i i =-，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+．这里只证明公式2中后两式． 【证明】：2(1i)1i 2i i 1i (1i)(1i)2++===--+；2(1i)1i 2i i 1i (1i)(1i)2---===-++-；记忆方法：1i 1i +-中分子中间为正，即等于i +． 1i 1i-+中分子中间为正，即等于i -秒杀思路分析复数简单代数运算是高考重要考点之一，也是高考试卷中最基础题型．如能熟练掌握化简公式，即可避免出错，又能大大提高答卷速度，达到“秒杀”效果．【示例1】（2016年天津卷文 9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【示例2】（2017 年新课标全国卷Ⅰ文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．2i(1i)+B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【示例3】（2014 年新课标全国卷）22(1i)(1i)+=-（ ）A ．1i +B ．2i (1i)-C ．2(1i)+D ．i(1i)+方法对比【例1】（2017年新课标全国卷Ⅱ理1）3i 1i +=+（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【例2】（2017年山东卷文 2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【例3】（2015 年湖南卷）已知2(1i)1i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【例4】（2011年湖南卷）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）A ．11a b =⎧⎨=⎩B ．11a b =-⎧⎨=⎩C ．11a b =⎧⎨=-⎩D ．11a b =-⎧⎨=-⎩秒杀训练【试题1】 设i 是虚数单位，则复数22i i -=（ ）A ．i -B ．3i -C ．iD ．3i【试题2】设复数z 满足(1i)2i z -=，则z =（ ）A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -【试题3】 若复数1i z =+（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则22z z +的虚部为（ ）A ．0B ．1-C ．iD ．2-【试题4】 复数101i ()1i -+的值是（ ）A ．1-B ．1C ．32-D ．32【试题5】在复平面内，复数2i 1i z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题6】已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若(i)(1i)i a b ++=，则i a b += ． 【试题7】 已知i 是虚数单位，则计算12i 2i +-的结果是（ ）A ．41i 5+B ．4i 5+C ．iD ．i -真题回放【试题1】（2016年四川卷文1，2015 年广东卷文 1）设i 为虚单位，则复数2(1i)+=（ ）A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i【试题2】（2016年山东卷文 2）若复21i z =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【试题3】（2015 年安徽省）设i 是虚数单位，则复数2i 1i -在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题4】（2017年新课标全国Ⅱ卷文2）(1i)(2i)++=（ ）A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【试题5】（2014 年北京卷文 1）复数21i ()1i+=- ．【试题 6】（2018 年新课标全国卷Ⅰ理1，文 2）设1i 2i 1i z -=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1D【试题7】（2018 年浙江卷 4）复数21i -（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --§8 复数模的性质与单位根的妙用知识点1：（模的性质） 性质1：z z = 性质2：22z z z z ==⋅ 性质 3：1212z z z z ⋅=⋅ 性质4∶1122z z z z = 证明：令i z a b =+，则i z a b =+，i z a b =-．对性质1：z =，z ==z z = 对性质2：22222(i)(i)i z z a b a b a b a b ⋅=+-=-=+2222222222()2i z a b z a bi a b ab a b==+=+=-+=+即性质2成立令111i z a b =+，222i z a b =+∴12112212121221(i)(i)()()i z z a b a b a a b b a b a b =++=-++=12z z ==故性质3成立．性质4同理可证． 知识点2：（单位根）31=，31=-【证明】先看解方程310x -=，即2(1)(1)0x x x -++=，∴10x -=，即11x =，210x x ++=，即2,3x =故31=，同理可证另一式子．1-，结果即为1+．1+，结果即为1-．秒杀思路分析复数模的运算是复数问题的一种基本运算，也是高考复数内容的最基本题型．能熟练掌握模的性质可大大简化运算程序，提高运算的准确性，达到快速“秒杀”目标．单位根尽管考的时候不多，但应为复数的一个知识点，教科书中也有相应的问题．对于很复杂运算可妙用单位根进行化简，达到速解目的．【示例1】（2017年新课标全国卷Ⅲ理 2）设复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z =（ ）A ．12B C D ．2【示例2】（2010年新课标全国卷）已知复数z ，则z =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2此题若先把z 化简会很复杂，直接利用模的性质，即可“秒杀”．【示例3】（2002年天津卷）复数21(2+的值是（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1方法对比【例1】（2017年浙江卷12）已知,a b R ∈，2(i)34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ．ab = ．【例2】（2004 ）A ．16-B ．16C ．14-D ．14【例3】（2004 年辽宁卷）设复数z 满足1i 1z z -=+，则1z +=（ ）A ．0B ．1C D ．2秒杀训练【试题1】若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【试题2】设复数i(,)a b a b +∈R (i)(i)a b a b +-= ．【试题3】（人教B 版选修 2-2P95）33+= ．【试题4】设复数z 满足1i 1z z +=-，则z =（ ）A ．1BC D ．4【试题5】令ω=，则21ωω++=（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．ω【试题6】 已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= ． 真题回放【试题1】（2017年山东卷理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（ ）A ．1或1-B 或C ． D【试题2】（2016年全国丙卷）若12i z =+，则4i 1z z =⋅-（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【试题3】（2013 年陕西卷理 6）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，，则12z z =C ．若12z z =，则122z z z z ⋅=⋅D ．若12z z =，则2212z z =【试题4】（2016 年四川预赛）若复数 1i2z =则2016z =（ ）A ．1-B ．i -C ．iD ．1【试题5】（2017年安徽预赛）设复数z 满足20172534i 2017z z -=+-，则z = ． 【试题6】（2016年全国高中联赛）设复数,z ω满足3z =，()()74i z z ωω+-=+，其中i 为虚数单位，,z ω分别表示,z ω的共轭复数，则(2)(2)z z ωω+-=的模为 ．复数的三角式及妙用【复数三角式】：(cos isin )z r θθ=+，其中r 为复数的模，也记作z ．θ为复数z 的辐角，记作Arg z θ=．而辐角主值记作arg z ，满足02arg z ≤<π．复数的三角式又称作极坐标形式．【复数乘除法公式】令1111(cos isin )z r θθ=+，2222(cos isin )z r θθ=+，则12121212[cos()isin()]z z r r θθθθ=+++，11121222[cos()isin()]z r z r θθθθ=-+- 【示例1】 复数13i z =+，21i z =-，则12z z z =在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【示例 2】（2018 年东北三校二模理 1）设i 是虚数单位，则复数7i 34i ++在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限。