a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
复习回顾
1.基本不等式: (1)如果a, b R，那么a 2 b 2 2ab, 当且仅当a b 时，等号成立． ab (2)如果a, b 0，那么 ab , 2 当且仅当a b 时，等号成立．
ab 2 (3)如果a, b 0，那么ab ( ) , 2 当且仅当a b 时，等号成立．
2 2 2
问题探讨
已知a, b, c R , 求证a b c 3abc，
3 3 3
并探讨等号成立的条件．
证: a3 b3 c3 3abc 1 2 2 2 (a b c)[2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac] 2 1 2 2 2 (a b c)[(a b) (b c) (a c) ] 0, 2
3
当且仅当a b c时，等号成立．
abc 3 定理3 如果a, b, c R , 那么 abc ， 3 当且仅当a b c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定理3可以推广一般的情形：
它们的算术平均值 an， 不小于它们的几何平均值，即 a1 a2 a3 an ≥ n a1a2 a3 an n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.) 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
问题探讨
已知a, b, c R , 求证a b c 3abc，
3 3 3
并探讨等号成立的条件． 3 3 2 2 3 ( x y) x 3x y 3xy y 3 3 3 证: a b c 3abc 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 (a 3a b 3ab b ) 3 a b 3 ab c 3 abc x y ( x y)( x xy y )
3x 2 当且仅当 1 3 x, 即x 时， 2 9
1 函数y x (1 3x)取最大值 ． 243
2
例2 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积 最大. 证： 设长方体同一顶点处的三条棱长 分别为x,y,z, 体积为V,表面积 为S，则S=2(xy+yz+xz),于是得
1 V (a 2 x) x [(a 2 x) (a 2 x) 4 x] 4
2
a 当且仅当 a 2 x 4 x,即x 时, 等号成立, 6 即小正方形的边长是原正方形边长
1 2a 3 的 时, 盒子的容积取最大值 ． 6 27
1 (a 2 x) (a 2 x) 4 x 2a , 4 3 27
2.用均值不等式求最值时,要满足: 一正、二定、三相等.
问题探讨
ab 1.把不等式 ab (a, b R )推广到 2 三个正数的情形, 结果是什么？
abc 3 abc (a, b, c R ). 3
2.怎么证明以上不等式？
3.我们先考虑把不等式a 2 b2 2ab(a, b R) 推广到三个正数的情形, 结果是什么？
z
x y
V ( xyz ) xy xz yz
2 2
xy xz yz 3 S 3 ( ) ( )， 3 6
∴当且仅当xy=yz=xz, 即x=y=z时，V2有最大值， 从而可知，表面积为定值S的长方体中，以正方 体的体积最大.
例3: 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转 作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多 少时？才能使盒子的容积最大？ 解: 设小正方形边长为x, 盒子的容积为V,则
2.若x, y R , 且 xy 8, 求 x 2 y 的最小值．
2
答案:当 x 2, y 2时,x 2 y 取最小值6．
2 3. 求函数 y x ( x 0) 的最小值． x
2
答案:当 x 1时,ymin 3.
27 4.若x y 0, 求则 x 的最小值为 -------( x y) y
基本不等式的变形：
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
a1 a2 an （ n
an
）.
n
定理:设 x , y , z 都是正数，那么 ⑴若 xyz S （定值） ，则 当 x y z 时， x y z 有最小值 3 3 s . ⑵若 x y z p （定值） ，则 3 x y z xyz 当 时， 有最大值 p /27.
9
练习:
1.已知 a 0, b 0 , 2a 3b 10 ,
2 5 则 2a 3b 的最大值是____.
2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 则 u 的最小值是_________ x y
x2 8 ( x 1) 的最小值为______ 3.函数 y 8 x 1
小 结
1.基本不等式：
பைடு நூலகம்
①若a, b R，则a b 2ab．
2 2
②若a, b, c R , 则a b c 3abc．
3 3 3
ab ③若a, b R , 则 2
ab．
abc 3 ④若a, b, c R , 则 abc． 3
⑤若a1 , a2 ,
注：一正、二定、三相等
1 例1 求函数 y x (1 3 x)在 (0, ) 上的最大值. 3 1 解： 0 x , 1 3 x 0, 故得 3 4 3x 3x 2 y x (1 3x) [ (1 3 x)] 9 2 2
2
4 3x / 2 3x / 2 1 3x 3 1 [ ] . 9 3 243
(a b) c 3a b 3ab 3abc
3 3 2 2
(a b c)[(a b)2 (a b)c c2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2ab b ac bc c 3ab]
2 2 2
(a b c)[a b c ab bc ac]