动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE的长．AB C O 图8HABCDEOlA ′（二）线动问题2,在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．（三）面动问题3.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．C解决动态几何问题的常见方法有:一、 特殊探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，则PC BP的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26二、 动手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧AB 的中点，D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合），则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和CD 与大圆分别交于点B 、E ，则下列结论中正确的是（ * ） （A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 .ABMND CBA以圆为载体的动点问题中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），例1.在Rt ABCQ是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

（03年广州市中考）例2.如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？练习.1 已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。

连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。

设CP=x，DE=y。

（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）若点E与点A重合，则x的值为；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。

2如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B 运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。

设AP=x（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

3、在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．（1）写出A点的坐标和AB的长；（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：几何动点问题；分类讨论。

分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案．例题4 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2+-=）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

练习5、已知抛物线2y ax bx c =++经过0P E ⎫⎪⎪⎝⎭及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习6、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

已知折叠CE =3tan 4EDA ∠=。

（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习7、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．O练习3图练习8 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．练习4图练习9、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，，3944y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．x例10 (2008福建福州)如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ 分析:由t ＝2求出BP 与BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状; 作QE ⊥BP 于点E,将PB,QE 用t 表示,由BPQ S =21×BP×QE 可得 S 与t 的函数关系式;先证得四边形EPRQ 为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR ∽△PRQ ,对应边成比例列方程,从而t 值可求.例11(2008浙江温州)如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．分析:由△BHD ∽△BAC,可得DH;由△RQC ∽△ABC,可得y 关于x 的函数关系式;由腰相等列方程可得x 的值;注意需分类讨论.中考动点专题答案一、应用勾股定理建立函数解析式1.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH-==.在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式2.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4 解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2CAB CDE OlA ′在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1.解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =，代入数据得8=CF ，∴AF=2（2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF32=， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，xx 321010+-=，24=x ；内切，xx 321010--=，17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-．（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，320=BE ． （二）线动问题 [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC ∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，xx AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=，x x x S 96)9(322+-=xx x 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．练习1. 解：（1）y=－x 2＋4x 。