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多项式轨迹规划
实例
分析已知条件：14个 ➢起始点的位移、速度、加速度； A
C D
➢终止点的位移、速度、加速度；
B
➢第一中间点的位移、速度和加速度连续性条件；
➢第二中间点的位移、速度、加速度连续性条件。
三段轨迹多项式函数分别为：
( t) 1 a 0 a 1 t a 2 t2 a 3 t3 a 4 t4
关节空间轨迹规划
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关节空间轨迹规划
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直角坐标空间轨迹规划
对关节加速 度要求较高
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直角坐标空间轨迹规划
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经过中间点的直角坐标空间轨迹规划
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关节空间轨迹规划
三次多项式轨迹规划 五次多项式轨迹规划 抛物线过渡的线性插值法
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三次多项式轨迹规划
初始和终止时刻的位移和速度为已知，具有四个已知参数， 因此可以确定一个三次多项式：
(tf)c12 c2tf 3 c3 tf20
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三次多项式轨迹规划
当起点和终点的速度为0时，解得：
c0 i
c1 0
c2
3( f i )
tf 2
c3
2(f i )
tf 3
.
三次多项式轨迹规划
位移、速度、加速度方程为：
(t)i 3(tff 2i)t22(tff 3i)t3
(t)6(f i)t6(f i)t2
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关节空间轨迹规划
抛物线过渡的线性轨迹规划
➢为了克服多项式轨迹规划中速度、加速度均变化 导致计算量增大的缺点，采用抛物线过渡的线性规 划方法。 ➢主体部分速度为常数，为了避免在起始和结束段 产生过大加速度，采用抛物线过渡。过渡段时间的 长短取决于系统的设计。
0 0
0 00 0 0 00 0
0 0
1 3f
01
2 3f
2 3 f
3 3f
3 3 f 2
4 3f
4 3 f 3
c2
c3
D 0 0 0
0
0 00 0
0 00
2
6 3 f
12
3
f
2
c4
简化写为：MC 则系数矩阵为 CM1
关节空间轨迹规划
多项式轨迹规划的缺点
位移、速度、加速度均为时间t的函数，机器人 关节在控制过程中需要不断计算新值，增加了 控制器的负担。
有误！
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三次多项式轨迹规划
缺点：
➢加速度有突变，意味着力或力矩需 要有突变，这会造成振动和冲击 ➢需要进行加速度校验：
act max6(tf f2 i )
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五次多项式轨迹规划
如果初始点和终止点的位置、速度和加速度均为已知， 则有6个已知参数，可以确定5次多项式：
( t) c 0 c 1 t c 2 t2 c 3 t3 c 4 t4 c 5 t5 ( t) c 1 2 c 2 t 3 c 3 t2 4 c 4 t3 5 c 5 t4
1 1f
2
2 1f
0
3 1f
0
4 1f
00 00
0 0
0 00 0 0 00 0
0 0
0 0
aa32
B
0
0 0
0 1
0
21 f
0
31f 2
0
41f 3
10 0 1
0 0
0 00 0 0 00 0
0 0
0
a4
0 b0
0
0
0
C 0 0
2 61f 121f 2 0 0 2 0 0 0
第五章 轨迹规划
轨迹规划的基本原理 关节空间轨迹规划 直角坐标空间轨迹规划
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轨迹规划的基本概念
路径与轨迹
路径定义为机器人位形的一个特定序列，而不考 虑机器人位形的时间因素。 轨迹则强调何时到达路径中每一点，强调时间性。
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关节空间与直角坐标空间描述
关节空间描述：已知关节的起始点、中间点、终止点参数，求关节 变量随时间的变化关系。 直角坐标空间描述：已知机器人手坐标系运动路径或轨迹，求各关 节变量随时间的变化关系。
(t)c0 c 1 t c2 t2 c3 t3
已知：
(ti) i
(tf ) f
(ti ) 0 (tf ) 0
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求 c 0 c1 c2 c3
三次多项式
对多项式求导：
(t)c12c2t3c3t2
把上述已知条 件带入，得：
(ti)c0 i
(tf)c0 c 1 tf c2 tf2 c3 tf3
(ti)c1 0
tf2
tf3
(t)6(f i)1(2f i)t
tf2
tf3
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关节空间轨迹规划
例题：要求一个六自由度机器人第一关节在5S内从初始角30度运动到 终端角75度，用三次多项式计算在第1、2、3、4S时的关节角度。
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关节空间轨迹规划
例题2：假设在上例基础上继续运动，要求在其后的3S内关节角达到105度， 画出该运动的位置、速度和加速度曲线。
直角坐标空间轨迹规划需要转 化为关节空间轨迹规划后才能 够实施。
转化的具体方法是，取若干中间 点，并依次计算逆运动学方程， 求出各关节对应点关节参数。
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直角坐标空间轨迹规划的注意事项
➢直角坐标空间轨迹不能穿过自身； ➢直角坐标空间轨迹不能超出其工作空间； ➢直角坐标空间轨迹不能导致关节变量突变。
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00
0
1 2f
2 2f
3 2f
0
0
0 0
0 0
0
b1
0 b2
C
Hale Waihona Puke 0000
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 00 0 0 10 0 0
0 0 1 2 2 f 3 2 f 2 0 1 0
0
0 0 0 2 6 2 f 0 0 2 0
0
b3
0 0
c0
c1
DD
0 0
0 0
0 0
(t)2 b 0 b 1 t b 2 t2 b 3 t3
( t)3 c 0 c 1 t c 2 t2 c 3 t3 c 4 t4
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把已知条件带入上述三个多项式，得
A 1 0 0 0
A 0 1 0
0
0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0
0 a0
0
a1
BA
0 0
对于存在中间点的情况，如果不知道中间点全部运动参数， 则可以采用更高次多项式轨迹规划，把两段独立的轨迹规 划方程合并成一个阶次更高的方程。
( t) c 0 c 1 t c 2 t2 c n 1 tn 1 c n tn
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高次多项式轨迹规划
➢随着阶次的增高，计算量明显增大； ➢解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次 的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有 给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。 ➢相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性 约束条件。
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关节空间轨迹规划
例题：同上例，且已知初始加速度和末端 减速度均为5度/秒的平方。
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多项式轨迹规划分析
➢给出的已知条件越多，多项式的级数越大； ➢前面所述已知条件均是关于起始和终止点的； ➢如果存在中间点，并且已知中间点运动参数，则分为两 段，然后对每一段分别独立进行多项式轨迹规划。
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高次多项式运动轨迹