第三讲导数的简单应用考点一导数的几何意义1．导数公式(1)(sin x)′＝cos x；(2)(cos x)′＝－sin x；(3)(a x)′＝a x ln a(a>0)；(4)(log a x)′＝1x ln a(a>0，且a≠1)．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[对点训练]1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)[解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C.[答案]C2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x －y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1＝0，所以A 正确，故选A.[答案] A3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3[解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.[答案] B4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________.[解析] y ＝x ＝x12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x＝－a，∴三角形的面积S＝12·a2·|－a|＝a a4＝2，解得a＝4.[答案]4[快速审题]看到求切线，想到用导数的几何意义．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．考点二利用导数研究函数的单调性1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．角度1：根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围[解题指导]求f′(x)→解f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立→得出结果[解析]由题意得f′(x)＝2x＋a＋3x＝2x2＋ax＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴Δ＝a2－24≤0或⎩⎨⎧ －a 4≤1，g (1)≥0，∴－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5， 即a ≥－26，故选C.[答案] C角度2：利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性[解] 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－ax 2＋x －a x 2，令h (x )＝－ax 2＋x －a ，记Δ＝1－4a 2，当Δ≤0时，即a ≥12时， －ax 2＋x －a ≤0，f ′(x )≤0，此时函数f (x )在(0，＋∞)上递减．当Δ＝1－4a 2>0，即当0<a <12时， 由－ax 2＋x －a ＝0，解得：x 1＝1＋1－4a 22a ，x 2＝1－1－4a 22a， 显然x 1>x 2>0，故此时函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， 综上，0<a <12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上递减．[探究追问1] 若把例2的条件“a >0”变为“a ∈R ”，其他条件不变，则f (x )的单调性如何？[解] 由例2解的内容知：f ′(x )＝－ax 2＋x －a x 2，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝－ax 2＋x －a .当a ≤0时，h (x )>0恒成立，所以f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，同例2解的内容．综上：a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．0<a <12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 22a ，1＋1－4a 22a 上递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 22a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 22a ，＋∞上递减， a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．[探究追问2] 若将例2中函数“f (x )”变为“f (x )＝1x ＋(1－a )ln x ＋ax ”，“a >0”变为“a ∈R ”试讨论f (x )的单调性．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2＋1－a x ＋a＝ax 2＋(1－a )x －1x 2＝(x －1)(ax ＋1)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a x 2，①当a >0时，x ＋1a >0，令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，②当a ＝－1时，1＝－1a ，f ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；③当－1<a <0时，1<－1a ，令f ′(x )>0，则1<x <－1a ，令f ′(x )<0，则0<x <1或x >－1a ，所以函数f (x )在区间(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增； ④当a <－1时，1>－1a ，令f ′(x )>0，则－1a <x <1，令f ′(x )<0，则0<x <－1a 或x >1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 和(1，＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a ＝－1时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，函数f (x )在区间(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a 上单调递增； 当a <－1时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，(1＋∞)上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递增． 利用导数研究函数单调性的3个关注点(1)利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论．(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(3)在不能通过因式分解求出根时，根据一元二次不等式对应方程的判别式或特殊值进行分类讨论．[对点训练]1．[角度1]若函数f (x )＝x ＋4m x －m ln x 在[1,2]上为减函数，则m的最小值为( )A.32B.34C.23D.43[解析] 因为f (x )＝x ＋4m x －m ln x 在[1,2]上为减函数，所以f ′(x )＝1－4m x 2－m x ＝x 2－mx －4m x 2≤0在[1,2]上恒成立，所以x 2－mx －4m ≤0在[1,2]上恒成立．令g (x )＝x 2－mx －4m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝1－m －4m ≤0，g (2)＝4－2m －4m ≤0，所以m ≥23，故m 的最小值为23，故选C. [答案] C2．[角度2]已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －1＋1x ＝2ax 2－x ＋1x. ①当a ＝0时， f ′(x )＝－x ＋1x .显然，当x ∈(0,1)时， f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．②当a ≠0时，对于2ax 2－x ＋1＝0，Δ＝(－1)2－4×2a ×1＝1－8a .若Δ≤0，即a ≥18，因为a >0，所以2ax 2－x ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若Δ>0，即0<a <18或a <0，方程2ax 2－x ＋1＝0的两根为x 1＝1－1－8a 4a ，x 2＝1＋1－8a 4a. 当a <0时，x 1>0，x 2<0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞时，2ax 2－x ＋1<0, f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．当0<a <18时，x 2>x 1>0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，1＋1－8a 4a 时，2ax 2－x ＋1<0, f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4a ，＋∞时，2ax 2－x ＋1>0, f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，当a ＝0时， f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ≥18时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当0<a <18时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－8a 4a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，1＋1－8a 4a ； 当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－8a 4a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－8a 4a ，＋∞. 考点三 利用导数研究函数的极值与最值1．若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．2．设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．角度1：根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围[解析] f ′(x )＝1x ＋x －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ，由f ′(x )＝0得(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m ＝0，∴x ＝m 或x ＝1m .显然m >0.当且仅当0<m <2≤1m 或0<1m <2≤m 时，函数f (x )在区间(0,2)内有且仅有一个极值点．若0<m <2≤1m ，即0<m ≤12，则当x ∈(0，m )时，f ′(x )>0，当x ∈(m,2)时，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值点x ＝m .若0<1m <2≤m ，即m ≥2，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 时， f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，2时， f ′(x )<0，函数f (x )有极大值点x ＝1m .综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)，故选B. [答案] B角度2：利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值[解题指导] (1)求f ′(x )→f ′(x )＝0有两不等正根→确定a 的范围(2)分离参数λ→借助x 1＋x 2，x 1·x 2转化关系式→构造关于a 的函数→求函数的最大值[解] (1)由题设知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝x 2－ax ＋a x，且f ′(x )＝0有两个不同的正根，即x 2－ax ＋a ＝0有两个不同的正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a >0，a >0， ∴a >4.(2)不等式f (x 1)＋f (x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立等价于λ>f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2恒成立． f (x 1)＋f (x 2)＝a ln x 1＋12x 21－ax 1＋a ln x 2＋12x 22－ax 2.由(1)可知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ，∴f (x 1)＋f (x 2)＝a (ln x 1＋ln x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＝a ln a ＋12(a 2－2a )－a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a －12a －1， ∴f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2＝ln a －12a －1， 令y ＝ln a －12a －1，则y ′＝1a －12.∵a >4，∴y ′<0，∴y ＝ln a －12a －1在(4，＋∞)上单调递减，∴y <ln4－3，∴λ≥ln4－3.∴λ的最小值是ln4－3.研究极值、最值问题的3个关注点(1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．[对点训练]1．[角度1](2018·福建泉州一模)函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2－x ＋2(0≤x ≤1)在x ＝1处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，35C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，35 D ．(－∞，1][解析] f ′(x )＝3ax 2＋2(a －1)x －1，x ∈[0,1]，a ＝0时，f ′(x )＝－2x －1<0，f (x )在[0,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)符合题意；a ≠0时，Δ＝4(a 2＋a ＋1)>0，x 1＝1－a －a 2＋a ＋13a ，x 2＝1－a ＋a 2＋a ＋13a ，a >0时，若f (x )在x ＝1处取最小值，只需x 1≤0且x 2≥1，解得0<a ≤35，a <0时，若f (x )在x ＝1处取最小值，只需x 1≥1或x 2≤0，解得a <0；综上a ≤35，故选C.[答案] C2．[角度2](2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2sin x ·e x≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，∴a －1＝0，解得a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x ，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，故选D.[答案] D2．(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________．[解析] ∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ， ∴f ′(1)＝e 1×(ln1＋1)＝e.[答案] e3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.[解析] 设f (x )＝(ax ＋1)e x ，则f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.[答案] －34．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ；(2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x .f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时出现在解答题第一问．热点课题6 导数与函数的单调性与最值[感悟体验]已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x， 所以f (1)＝－2，f ′(1)＝0.所以切线方程为y ＝－2.(2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，当a >0时，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x， 令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递增．所以f (x )在[1，e]上的最小值为f (1)＝－2，符合题意；②当1<1a <e ，即1e <a <1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，所以f (x )在[1，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (1)＝－2，不符合题意； ③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1，e]上的最小值为f (e)<f (1)＝－2，不符合题意； 综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．专题跟踪训练(十二)一、选择题1．(2018·福建福州八校联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( )A ．－eB ．2C ．－2D ．e[解析] 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2，故选B.[答案] B2．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2[解析] 求导得f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2，故选D.[答案] D3．(2018·聊城模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )[解析] 由题图知当0<x <1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，排除A 、B.当x >1时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增．所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0时，xf ′(x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值，排除D.符合条件的只有C 项，故选C.[答案] C4．(2018·南昌一模)若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则方程1＋a x ＝0在x >0上有解，则x ＝－a ，所以a <0，故选C.[答案] C5．(2018·海南八校联考)已知函数f (x )＝3ln x －x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 在区间(1,3)上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，112 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 [解析] 因为f ′(x )＝3x －2x ＋a －12，所以结合题意可得f ′(x )＝3x－2x ＋a －12在(1,3)上只有一个零点且单调递减，则问题转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)>0，f ′(3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12>0，a －112<0，解得－12<a <112，故选B.[答案] B6．(2018·石家庄二中一模)已知对∀x ∈(0，＋∞)，不等式ln x ＋1≥m －n x (n >0)恒成立，则m n 的最大值是( )A ．1B ．－1C ．eD ．－e[解析] 不等式ln x ＋1≥m －n x 可化为ln x ＋1－m ＋n x ≥0，令F (x )＝ln x ＋1－m ＋n x (x >0)，则F ′(x )＝1x －n x 2＝x －n x 2，所以当x ＝n 时，F (x )min＝ln n ＋2－m ，则ln n ＋2－m ≥0⇒m ≤2＋ln n (n >0)．所以m n ≤2＋ln n n .令G (n )＝2＋ln n n ，则令G ′(n )＝－1－ln n n 2＝0，可得n ＝1e ，故G (n )max＝2－11e＝e ，即m n ≤2＋ln n n ≤e ，故选C.[答案] C二、填空题7．(2018·武汉模拟)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.[解析] 因为y ＝x ＋1x －1，所以y ′＝－2(x －1)2，则曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率为y ′| x ＝3＝－12.又因为切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，所以－12·(－a )＝－1，解得a ＝－2.[答案] －28．(2018·南宁二模)曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．[解析] 因为f ′(x )＝1＋ln x ，且f (1)＝0，f ′(1)＝1，所以切线l 的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝1，∴切线l 与两坐标轴的交点坐标分别为A (0，－1)，B (1,0)，则|OA |＝1，|OB |＝1，∴S △ABO ＝12×1×1＝12.[答案] 129．(2018·河南安阳调研)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．[解析] f ′(x )＝1x ＋ax －2＝ax 2－2x ＋1x(x >0)，函数f (x )存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax 2－2x ＋1≤0，等价于a 小于2x －1x 2在x ∈(0，＋∞)上的最大值，设g (x )＝2x －1x 2，则g ′(x )＝－2x ＋2x 3，可知，函数g (x )在区间(0,1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最大值，此时g (x )＝1，所以a <1，故填(－∞，1)．[答案] (－∞，1)三、解答题10．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．[解] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，由f ′(x )>0⇒0<x <1，由f ′(x )<0⇒x >1，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－11－ln1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －lne ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 11．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )是否为R 上的单调减函数？若是，求出a 的取值范围？若不是，请说明理由．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0， 解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立． 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1， 则g ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增． 所以g (x )<g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立，因为e x >0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．12．(2018·辽宁五校模拟)已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2ax (a >0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln2恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2－ax ＋1)x，令x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4， ①当0<a ≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >2时，Δ>0，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的实根，分别设为x 3，x 4，不妨令x 3<x 4，则x 3＝a －a 2－42，x 4＝a ＋a 2－42，此时0<x 3<x 4， 因为当x ∈(0，x 3)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 3，x 4)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 4，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增．综上：当0<a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增． (2)由(1)得f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，则f (x 1)－f (x 2)＝2ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2a )＝2ln x 1x 2＋x 22－x 21x 1x 2＝2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2， 令t ＝x 1x 2，则0<t <1，f (x 1)－f (x 2)＝2ln t ＋1t －t ，令g (t )＝2ln t ＋1t －t (0<t <1)，则g ′(t )＝－(t －1)2t 2<0，故g (t )在(0,1)上单调递减且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－2ln2， 故g (t )＝f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0<t ≤12， 而a 2＝(x 1＋x 2)2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝t ＋1t ＋2，其中0<t ≤12， 令h (t )＝t ＋1t ＋2，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12， 所以h ′(t )＝1－1t 2<0在t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 故h (t )＝t ＋1t ＋2在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 从而a 2≥92， 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.。