第三章 3.1 第2课时
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[解析] 由题意得 2a＝10，a＝5，ac＝35，∴c＝3， ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 由于焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上， 故椭圆的标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1；或2y52 ＋1x62 ＝1.故选 B.
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3．离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ac，ac越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁；ac越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆．
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点 A 距地面 m 千米，远地点 B 距离地面 n 千米，地球半径为 k
千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )
A．2 m＋kn＋k
B． m＋kn＋k
C．m·n
D．2mn
[答案] A
第三章 3.1 第2课时
c
e＝__a___∈__(0_,_1_)_
其中c＝___a_2_－__b_2__
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
顶点坐标：
A1_(_0_，__－__a_)，A2_(_0_，__a_)_ B1__(_－__b_,_0_)_ ，B2__(b_,_0_)___ 长轴__A__1A_2__的长为_2_a___
求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标，顶点 坐标和离心率．
[解析] 把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴长 b＝2，又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4，两个焦点的坐 标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，
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椭圆的实际应用 2003 年 10 月 15 日 9 时，“神舟”五号载人飞 船发射升空，于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道，开始巡天飞 行．该轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆．选取坐标系 如图所示，椭圆中心在原点，近地点 A 距地面 200km，远地点 B 距地面 350km.已知地球半径 R＝6371km.
3．使学生能初步利用椭圆的有关知识来解决有关椭圆的 实际问题．
4．通过学生用代数方法研究曲线的几何性质的初步尝 试，使学生领会解析几何的基本思想．
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重点难点点拨
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标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
bx22＋ay22＝1(a>b>0)
图形
范围 __－__a_≤_x_≤_a_，__－__b_≤__y≤__b_
性 质
对称性
对称轴：_x_轴__、__y_轴___ 对称中心：_坐__标__原__点___
__－__b_≤_x_≤_b_，__－__a_≤__y≤_a__
对称轴：_x_轴__、__y_轴___ 对称中心：_坐__标__原__点___
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标准方程
顶点 性 质
离心 率
ax22＋by22＝1(a>b>0)
顶点坐标
A1_(_－__a_,_0_) __ ，A2__(_a_,0_)__ B1_(_0_，__－__b_)_ ，B2_(_0_，__b__) _ 长轴__A_1_A_2__的长为___2_a__ 短轴__B_1_B_2_的长为__2_b___
4．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中 心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小 和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方 程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固 掌握椭圆的几何性质．
5．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达 定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．
(3,0)，(0，－2)，(0,2)，离心率
e＝ac＝
5 3.
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[点评] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成 标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶点坐标 等．
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平均速度是67040905000≈8(km/s)． 所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s. [点评] 解答本题的关键是要明确近地点与远地点的几何 意义，把实际问题转化为数学问题求解．
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某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44163691， 所以椭圆的方程为4416x92 316＋4416y32 691＝1.
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(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时，合 21×3600 秒， 减去开始的 9 分 50 秒，即 9×60＋50＝590(s)，再减去最后多 计的 1 分钟，共计 590＋60＝650(s)，飞船巡天飞行时间是 21×3600－650＝74950(s)，
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6．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定 型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．
7．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问 题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问 题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想 方法．
短轴__B_1_B_2_的长为__2_b__
c
e＝_a___∈__(0_,_1_)_
其中c＝___a_2_－__b_2 __
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学习方法指导
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1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画 出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是 与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率； 一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
2．椭圆上两个重要的三角形 (1) 椭 圆 上 任 意 一 点 P(x ， y)(y≠0) 与 两 焦 点 F1 ， F2 构 成 的 △PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直 角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.
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(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与 推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km， 问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s)
x，y交换即可得焦点在y轴上的椭圆方程．
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离心率为35，长轴长为 10 的椭圆的标准方程为( ) A．2x52 ＋1y62 ＝1 B．2x52 ＋1y62 ＝1 或2y52 ＋1x62 ＝1 C．1x020＋6y42 ＝1 D．1x020＋6y42 ＝1 或1y020＋6x42 ＝1 [答案] B
[分析] 把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a，b，c 即可求出所需答案．
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[解析]
椭圆的方程可化为：xm2＋
y2 m
＝1.
m＋3
∵m－m＋m 3＝mmm＋＋32>0，∴m>m＋m 3.
即 a2＝m，b2＝m＋m 3，c＝ a2－b2＝
本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质． 本节难点：椭圆的几何性质的实际应用
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知能自主梳理
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椭圆的简单几何性质
知能目标解读
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1．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b以及c、 e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．
2．通过根据椭圆的标准方程研究椭圆几何性质的讨论， 使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的 基本方法，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和 解决问题的能力．
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思路方法技巧
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