中档大题规范练——圆锥曲线1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l0与y 轴交于M(0，b)，求b 的取值范围．解 (1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为x23－y2＝1.(2)设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)，将y ＝kx ＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k2≠0，Δ＝36(1－k2)>0，xA ＋xB ＝62k 1－3k2<0，xAxB ＝－91－3k2>0，解得33<k<1. 所以当33<k<1时，直线l 与双曲线C 的左支有两个交点．(3)由(2)，得xA ＋xB ＝62k 1－3k2， 所以yA ＋yB ＝(kxA ＋2)＋(kxB ＋2)＝k(xA ＋xB)＋22＝221－3k2， 所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k2，21－3k2. 设l0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l0的方程，得b ＝421－3k2， ∵33<k<1，∴－2<1－3k2<0，∴b<－2 2.∴b 的取值范围是(－∞，－22)．2．已知离心率为12的椭圆C1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝4mx(m>0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，PF1＝73.(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程；(2)直线x ＝m 与椭圆C1在第一象限的交点为Q ，若存在过点A(4,0)的直线l 与椭圆C1相交于不同的两点M ，N ，使得36AQ2＝35AM·AN ，求出直线l 的方程．解 (1)∵在椭圆C1中c ＝m ，e ＝12，∴a ＝2m ，b2＝3m2，设椭圆C1的方程为x24m2＋y23m2＝1，联立x24m2＋y23m2＝1与y2＝4mx ，得3x2＋16mx －12m2＝0，即(x ＋6m)·(3x －2m)＝0，得x ＝2m 3或－6m(舍去)，代入y2＝4mx 得y ＝±26m3， ∴设点P 的坐标为(2m 3，26m3)，PF2＝2m 3＋m ＝5m3， PF1＝2a －5m 3＝7m 3＝73，∴m ＝1，此时，椭圆C1的标准方程为x24＋y23＝1，抛物线C2的标准方程为y2＝4x.(2)由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －4)，x24＋y23＝1，消去y 整理，得(3＋4k2)x2－32k2x ＋64k2－12＝0.由题意知Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－12<k<12.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝32k23＋4k2，x1x2＝64k2－123＋4k2.由(1)知m ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x＝1，x24＋y23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝±32，∴点Q 的坐标是(1，32)．∴AQ2＝454，由已知条件可知AM·AN ＝3635×454＝817. 又AM·AN ＝(4－x1)2＋y21·(4－x2)2＋y22＝(4－x1)2＋k2(4－x1)2·(4－x2)2＋k2(4－x2)2＝(k2＋1)·(4－x1)·(4－x2)＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝(k2＋1)(64k2－123＋4k2－4×32k23＋4k2＋16) ＝(k2＋1)·363＋4k2. ∴(k2＋1)·363＋4k2＝817， 解得k ＝±24，经检验成立．∴直线l 的方程为x －22y －4＝0或x ＋22y －4＝0.3．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，① x22a2＋y22b2＝1，②①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)a2＋(y1－y2)(y1＋y2)b2＝0. 因为y1－y2x1－x2＝－1，设P(x0，y0)， 因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y0＝12x0，即y1＋y2＝12(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因为右焦点(c,0)在直线x ＋y －3＝0上，解得c ＝3，所以a2＝6，所以M 的方程为x26＋y23＝1. (2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x26＋y23＝1得：3x2－43x ＝0，即A(0，3)，B ⎝⎛⎭⎪⎫433，－33， 所以可得AB ＝463；将y ＝x ＋m 代入x26＋y23＝1得：3x2＋4mx ＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 则CD ＝2(x3＋x4)2－4x3x4＝22318－2m2，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m ＝0时，CD 取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB·CD ＝863.4．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，⊙O ：x2＋y2＝b2，点A ，F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点．(1)若P(－1，3)，PA 是⊙O 的切线，求椭圆C 的方程；(2)是否存在这样的椭圆C ，使得PA PF 恒为常数？如果存在，求出这个常数及C 的离心率e ；如果不存在，请说明理由．解 (1)由P(－1，3)在⊙O ：x2＋y2＝b2上，得b2＝1＋3＝4.直线PA 的斜率kPA ＝3－0－1－(－a )＝3a －1，而直线PA 的斜率kPA ＝－1kOP ＝13，所以3a －1＝13，解得a ＝4.所以a2＝16，所以椭圆C 的方程为x216＋y24＝1.(2)假设存在椭圆C ，使得PA PF 恒为常数．设椭圆C 的半焦距为c ，当P(－b,0)时，则有PA PF ＝a －b |c －b|； 当P(b,0)时，则有PA PF ＝a ＋b b ＋c. 依假设有a －b |c －b|＝a ＋b b ＋c. ①当c －b>0时，有a －b c －b ＝a ＋b b ＋c， 所以(a －b)(b ＋c)＝(a ＋b)(c －b)，化简整理得a ＝c ，这是不可能的．②当c －b<0时，有a －b b －c ＝a ＋b b ＋c.所以(a －b)(b ＋c)＝(a ＋b)(b －c)，化简整理得ac －b2＝0.所以c2－a2＋ac ＝0，两边同除以a2，得e2＋e －1＝0.解得e ＝－1＋52，或e ＝－1－52∉(0,1)(舍去)． 可见，若存在椭圆C 满足题意，只可能离心率e ＝－1＋52. 设P(x ，y)为⊙O ：x2＋y2＝b2上任意一点，则PA PF ＝(x ＋a )2＋y2(x ＋c )2＋y2PA2PF2＝(x ＋a )2＋b2－x2(x ＋c )2＋b2－x2＝2ax ＋a2＋b22cx ＋c2＋b2＝2ax ＋2a2－c22cx ＋a2.(*)由上c2－a2＋ac ＝0，得a2－c2＝ac ， 所以2a2－c2a2·c a ＝a2＋ac a2·c a＝a ＋c a2·c ＝ac ＋c2a2＝a2a2＝1，从而2a2－c2a2＝a c .代入(*)式得PA2PF2＝a c ＝5＋12，所以存在满足题意的椭圆C ，这个常数为 5＋12， 椭圆C 的离心率为e ＝－1＋52. 5．已知平面内一动点P 到点F(1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C 相交于点A ，B ，l2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y)，由题意有(x －1)2＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x ＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x ；当x<0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y2＝4x (x≥0)和y ＝0 (x<0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k ，则l1的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y2＝4x ，得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k .设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k2＋1k2≥8＋4×2k2·1k2＝16.当且仅当k2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.6．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 在椭圆C1：x22＋y2＝1上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x ＝2的距离之比等于椭圆的离心率．动点Q 是动圆C2：x2＋y2＝r2(1<r<2)上一点．(1)设椭圆C1上的三点A(x1，y1)，B(1，22)，C(x2，y2)与点F(1,0)的距离依次成等差数列，线段AC 的垂直平分线是否经过一个定点？请说明理由；(2)若直线PQ 与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点，求P ，Q 两点的距离PQ 的最大值．解 (1)椭圆C1：x22＋y2＝1的离心率e ＝22，右焦点为(1,0)，由题意可得AF ＝22(2－x1)，BF ＝22(2－1)，CF ＝22(2－x2)．因为2BF ＝AF ＋CF ， 所以22(2－x1)＋22(2－x2)＝2×22(2－1)，即得x1＋x2＝2.因为A ，C 在椭圆上，故有x212＋y21＝1，x222＋y22＝1，两式相减，得kAC ＝y2－y1x2－x1＝－x2＋x12(y2＋y1)＝－1y2＋y1.设线段AC 的中点为(m ，n)，而m ＝x1＋x22＝1，n ＝y1＋y22，所以与直线AC 垂直的直线斜率为k′＝y2＋y1＝2n. 则线段AC 的垂直平分线的方程为y －n ＝2n(x －1)， 即y ＝n(2x －1)经过定点(12，0)．即线段AC 的垂直平分线过一个定点(12，0)．(2)依题意得，直线PQ 的斜率显然存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋t ，设P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)，由于直线PQ 与椭圆C1相切，点P 为切点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ y′1＝kx′1＋t ，x ′212＋y ′21＝1，得(2k2＋1)x′21＋4ktx′1＋2(t2－1)＝0.故Δ＝(4kt)2－4×2(t2－1)(2k2＋1)＝0，从而可得t2＝1＋2k2，x′1＝－2k t ，①直线PQ 与圆C2相切，则|t|1＋k2＝r ，得t2＝r2(1＋k2)，②由①②得k2＝r2－12－r2，并且PQ2＝OP2－OQ2＝1＋2k21＋2k2－r2 ＝3－r2－2r2≤3－22＝(2－1)2.即0<PQ≤2－1，当且仅当r2＝2∈(1,4)时取等号， 故P ，Q 两点的距离PQ 的最大值为2－1.。