第十讲锐角三角函数趣题引路】甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。

同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。

又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间，设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①，岭v i 叫A A在冲，COS60—篇……③.知识延伸】“锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。

我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) •这是互余两角的三角函数关系.同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。

如图10-2在RtAABC中,在中cos30。

=处,二B、B\另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1・单调性•当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 •有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ・例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中，・.・ ZA+ZB 二90" » /. tanB=cotA. •/ sinA=tanB,.・• sinA=cotA ・•/ 0 < A < 90°,.・.0 < cos A,故 cos A=点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - clanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值a c例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。

解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA • sinB= —・24由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点2 4 ■v0<sinA<L 0<cosA<l>/. 0<sinA+cosA<2> 0<sinA • cosA<l» 即 0 v ' <2.0< —<12 4解得0<m<3 ；. m = -73.不合题意，应舍去。

故m 的值为血..点评：解答本题的关键是先把两个互余角(ZA 和ZB)换成同一个角(ZA),再利用同角的正弦、余 弦之间的关系sin :A+cos :A=l 进行转化得到关于m 的方程•最后注意验根像这样的同角三角函数关系还有：tan A-cotA=b tanA= —sin Asin A•.・ sin' A + cos 2 A = l,/. cos 2 A + cos A =1.・.sin A+cosA 二十〔, ① sinA • cosA=—, ②好题妙解】佳题新题品味例1试运用三角函数的左义，求sinl5° , cosl5° , tanl5° , cotl5°的值.D图IO・3解析如图10-3,在RtAABC 中，ZC二90° , ZABC二30。

，延长CB 到D,使BD二BA,则ZADB二15°・令AC二x,则BC二Qx, AB=2x> AD二問+[(2 + 苗)寸=(点+>/T)xAC_ x _品_近AD (y/b + \/2)x 4(2 + >/3)X + A/T(V6 + V2)%" 4cotl5o = cotZADF = g=i^^ = 2 + 5/3.点评求某些特殊角的函数值的基本方法：构造一个直角三角形，使它的一个内角为所需求值的角的度数，再推导岀三边关系，最后运用三角函数总义求解.例2 如图10-4,从RtAABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点，连结CE、CF,已知CE二sina, CF=cosa （a为锐角），求AB的长。

解析分别过E、F作EM丄AC, FN丄AC,垂足分别为队N.2 112 设AC二b, BC=a> 则因BE=EF=FA,则:EM=-a, FN=-a,CM二一b, CN二土b3 3 3 3/£ RtACEM 中，EM:^CM==EC\7即(-ci)2 +(-/?)2 =sin2a3 3在RtACFN 中，FlCCN2二CF「/. sin 15° = sin ZADB =nrcos 15° = cos AADB =——=ADtan!5° = tanZ4DB =AC _ xDC"(2 + >/3)xi 9即(4)2+(二疔=cos 匕3 3•・• sin 2a + cos 2a = l,.\-i/2 +-Z?2 = 19 9 /. a 2 +b 2 =-,BPAB 2 =-5 5 "B 空.5点评构造直角三角形，将已知条件进行转化，是解答本题的关键。

中考真题欣赏4例 1 （上海市）已知：如图 10-5 四边形 ABCD 中，BC 二CD 二DB, ZADB 二90° , cosZABD 二-，求:S^CD5图165解析 S 、w )= = AD BD = L B D tan ZABD BD =、BD 2 ・ 厶 敕 2 2 2 cos ZABD= -BD 2 =-BD 2 - = -BD 2 24 2 4 85^EABCD 中作CE 丄BD,垂足为D ・4=BD CE 斗BD\S QCD点评利用三角函教关系式将两个三角形的而积用其公共边的代数式表示，是解决本题的关键。

例2 （山西省）如图10-6, MN 表示某引水工程的一段设汁路线，从M 到N 的走向为南偏东30° , 在H 的南偏东60°方向上有一点A,以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B, 测得BA 的方向为南偏东75° ,已知通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居 民区？则 CE=BC • sin60°解析过A作AC丄MN于点C,设AC长为xm,由题意可知ZAMC=30° ,ZABC二45° ,/.A7C = AC cot30° = 73xBC—AC—x・・・・MC-BC 二MB 二400,••血・_牙=400 解得¥ = 200（炉+1）用T x > 500,•・.不改变方向，输水线路不会穿过居民区。

点评：本题揭示解决有关斜三角形问题基本途径：作三角形的高线，化斜三角形为直角三角形的问题求解。

竞赛样题展示例（1997年江苏省竞赛试题）若直角三角形的两个锐角A、B的正弦是方程丘+px+q二0的两个根（1）那么，实数p, q应满足哪些条件？（2）如果p、q满足这些条件，方程x：+px+q=0的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A、B的正弦？解析（1）已知A、B为直角三角形的两个锐角，而且sinA. sinB是方程x'+px+q二0的两根，则有△二p：-4q$0,①sinA+sinB二-p, sinA • sinB=q・sinA>Ot sinB>0»/. p<0> q>0.・・.A+B二90° ,•'•sinB 二cosA ・.\sinA+cosA=-p» sinA • cosA=q>Ap'= (-p) 3= (sinA +cosA) •二1+2 sinA • cosA.•••p匚l+2q,即p-2q=l.将pN+2q代人①式，得l+2q-4qN0,则gS丄2故所求条件是p〈0, OCqW丄,p-2q=l,②2(2)设条件②成立，贝lj p5-4q=l-2q^0.故方程有两个实根：C( -------------------------------------- •2 2- 4q _ —p + Jl- 2q" ------------- 2 ------- = -2-p2 = \ + 2q,二—p = J 匚2g ・T - yji_2q < yj\_2q < 小+ 2q = 一p,0 < 一p - Jl - 2§ 5 -p + J\-2q:.P>a> 0.n一2p (一P)‘ - (Jp‘ - 4q$•.・ &+0= - = 一p, a 0 = -------------------- ----------- = CK2 4.・./ + 0】=(& + _ 2a • 0 = p2一2q = \0 < a < /? < 1..•- 为直角三角形两个锐角的正弦。

点评在直角三角形中，因A+B二90°,蕴含着sin:A+sin=B=sin2A+cos:A=l这一等量关系.过关检测】1 •如果a为锐角，且cosa = - ＞那么sina二____________52•若sina+sin「a 二1. a 为锐角，则cos「a+cos匕二__________ .竺竺+型竺-口30。

+ 2心60。

cot 45° cot 60°3.4•若cot a =2,则sin' a + cos' a 2cos'a + sinQ cosa5.已知tan2x - (^3 + 1) tail x+>/3=0 ,求锐角x 的度数◎2 •已知 sina ・cosa 二一，且 45° <a<90° ,贝 ijcosa-sina 的值为（）.8A0 B.卫 d D •土週2 2 4 23・ sin 6 x + cos 6 A + 3sin 2 xcos 2 x + 4 = _________ ・4. A ABC 中，ZA=30° , ZC-ZB 二 60° , BC=a,则 AB 二 _________5•已知AABC 中.ZA 、ZB 是锐角，且 sinA=—. tanB=2. AB 二29cm,求AABC 的而积。