第八讲 二次函数综合问题趣题引路】今有网球从斜坡O 点处抛去，网球的抛物路线方程是2142y xx ，斜坡的方程是12y x ，其中y 是垂直高度（m ），x 是与O 点的水平距离（m ），如图8-1.（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A ，写出A 点的垂直高度，以及A 点与O 点的水平距离： （2）在图象中，求标志网球所能达到的最高点B 的坐标，并求0B 与水平线Ox 之间夹角的正切.解析：（1）由方程组214212yx x yx解得A 点坐标为（7，3.5），即可求得A 点的垂直高度为3.5m ，A 点与O 点水平距离为7m.（2）由221144822yxx x 知，最高点B 的坐标为（4，8），且8tan24（记α=∠BOx ）.点评：本题是香港考题，在日常情境中，本题运用了许多数学知识，如方程组，一元二次方程，二次函数的画图及求二次函数的极值.知识延伸】例1 设a 、b 、c 、d 是任意实数，且满足222224ab ca b c d ，求证：不等式d ca bc ab 3≥++.证明：将已知不等式化简整理，得2222240c a b ca b ab d ，①设222224yf xx a b xa b abd ，则①式表明()0≤c f ，故抛物线（开口向上）与x 轴有交点，则22244240aba b ab d ，即222240aba b ab d化简，得ab≥d ，②由于此题关于a 、b 、c 是对称的，故用同样的方法可证得bc d ，③d ca ≥，④ ②、③、④相加得证.点评：此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数，利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法.例2 已知抛物线228yx x 与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上方的A 点为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，求AD 的取值范围. 解析：∵228yx x219x∴抛物线顶点为A'（1，9），对称轴为x=1. 抛物线与x 轴的交点为B （-2，0），C （4，0）. 如图8-2，分别以BC ，DA'为直径作D 、E ，可求得其与抛物线均交于122,1P 和12,1Q .根据直径所对的圆周角为直角，圆外角为锐角，圆内角为钝角，可知点A 在不含端点的抛物线'PA Q 上时，∠BAC<90°，又∵22112219DP3DPDQ ，'9DA∴39AD点评：此题应用于圆内角，圆外角，直径的有关性质，是几何、代数综合以及数形结合的能力题，其关键是为什么作两圆.（请多思考）.好题妙解】佳题新题品味例1 要使二次方程2140ax a x 的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a 的值.解析:令214f xax a x ，∵f （x ）=0在（-1，0）之间有一根， ∴()()()()043201<-⋅-=⋅-a f f ∵f （x ）=0在（2，3）之间有一根，∴f （2）f （3）=（2a-b ）（6a-7）<0 ②. 解不等式组230367a a a得3<<23a点评：如果用方程的知识来解，由求根公式，须解下列不等式组：2211811021181232a a aaa a aa.这较难解出a，利用函数的观点，根据根的分布和符号性质较易求出a 的范围.中考真题欣赏例1 （长沙市中考试题）设抛物线C的解析式为223y x kx k k，k为实数.（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k 表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象：（3）在第一象限有任意两圆1O、2O相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA<0B），试问：OBOA是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线1L与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式;解析:（1）配方，得23y x k k，∴顶点坐标为,3k k，对称轴为x=k.（2）设顶点为（x、y），则x=k，3y k，消去k得直线L的解析式为3y x，如图8-3（1）所示.令k=1，2，3得三个对应顶点坐标为()31，，()322，，()333，.（3）在3y x上任取一点()aa3,，设直线与x轴成角为α（°90<<°0α），则3=3=αtanaa，∴60α=︒.由切线长定理可知，1OO平分α∠，∴130O OA，如图8-3（1）所示，即112O O O A，222OO O B又211212212OO OO OO O A O B O B O A，∴12:1:3O A O B.又12O A OA OBO B ，∴13OAOB即OAOB为一定值. （4）如图8-3（2）要使该直线与抛物线C 中任意一条相截且截得线段长都为6，则该直线必平行于3y x .设其为b x y +3=，考虑其与2=x y 相交，则：23y x yxb.即230xx b,设此方程两根为A x ,B x ，又221||||32BC AB ，229||434AB A BA Bx x x x x x b∴23=b ，即1L 为23+3=x y点评：（2）中消去参数k 求x ，y 的函数关系应掌握；（4）抛物线C 的顶点轨迹为直线x y 3=，若直线1L 与抛物线截得的线段等长，则1L 必与x y 3=平行，在利用截线段长为6时，只须考虑一种最简单的解析式2=x y 与x y 3=的联立方程组即可.竞赛样题展示例1（1997年太原市初中数学竞赛试题）对于x 的二次三项式()02>++a c bx ax ， （1）当c<0时，求函数1||22-++-=c bx ax y 的最大值；（2）若不论k 为任何实数，直线()412k x k y --=与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个公共点，求a 、b 、c 的值.解析（1）∵a>0，c<0 ∴042>-ac b 故||2c bx ax ++的最小值为0， 1||22-++-=c bx ax y 值的最大值为-1；（2）欲使直线()412k x k y --=与抛物线c bx ax y ++=2只有一个交点，则方程组()⎪⎩⎪⎨⎧++=--=cbx ax y k x k y 2241只有一组解，消去y 得到关于x 的二次方程()0422=+++-+c k k x k b ax .∵()22404k b k a k c ⎛⎫∆=--++= ⎪⎝⎭，整理，得关于k 的二次方程()()0422122=-++--ac b k b a k a （*）又因为此方程对任意实数k 都成立，故()⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=-04022012ac b b a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-==121c b a点评：根据题意，（*）对任意实数k 都成立，说明关于k 的各项系数都为0.例2（1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数12||2--=x x y 的图象与x 轴交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A 、B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形.求a ，b ，c .解析：考虑方程012||2=--x x ，当x>0时，0122=--x x ，解得41=x ，32-=x （舍去）； 当x<0时，0122=-+x x ，解得41-=x ，32=x （舍去）. ∴A 、B 两点的坐标是（4，0），（-4，0）.∵c bx ax y ++=2过A 、B 两点，即过（4，0），（-4，0）， ∴可设c bx ax y ++=2为y=a （x-4）（x+4） ① ∵△APB 为等腰直角三角形，而A 、B 为顶点， ∴AB 可为斜边，也可为直角边.当AB 为斜边时，可求得P 点坐标为（0，4）或（0，-4）；当AB 为直角边时，这种情况不满足题设条件.将P （0，4）代人①得41-=a ，则①变为()441164122+-=--=x x y ， 故有4,0,41==-=c b a .将P （0，-4）代入①得41=a ，则①变为()441164122-=-=x x y 故有41=a ，b=0，4-=c .点评：求A 、B 两点的坐标时，应注意分两种情况去绝对值；条件△ABC 为等腰直角三角形应分情况讨论.过关检测】A 级1.已知抛物线232x y =与直线y=x+k 有交点，求k 的取值范围，2.如图8-4，P 是抛物线2x y =上第一象限内的一个点，A 点的坐标是（3，0）.（1）令P 点坐标为（x ，y ），求△OPA 的面积S ； （2）S 是y 的什么函数？ （3）S 是x 的什么函数？ （4）当S=6时，求点P 的坐标；（5）在抛物线2x y =上求一点P’，使A OP '∆的两边''P O P A =.3.抛物线c bx ax y ++=2的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上，且与直线y=4x-4有唯一交点，试求函数表达式.4.已知实数p<q ，抛物线q px x y 221+-=与p qx x y 222+-=在x 轴上有相同的交点A . （1）求A 点坐标； （2）求p+q 的值.5.已知抛物线12-++=k kx x y .（1）求证：无论k 是什么实数，抛物线经过x 轴上一个定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且满足：21x x <，||||21x x <，6=∆ABC S ，问：过A 、B 、C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点，试说明理由，如果有，求出其坐标.6.要围成一个如图8-5的猪舍三间，它们是一排大小相等的三个长方形，一面利用旧墙，其他各墙（包括中间隔墙）都是木料.已知现有木料可围24m 的墙，问每间猪舍的长x 为多少米时，猪舍总面积最大，这时总面积为多少？B 级1.现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上面均匀下漏，经过5min 漏完，H 是沙漏面下降的高度，则H 与下落时间t （min ）的函数关系用图象表示应是（ ）（如图8-6）A B C D 图8-62.如图8-7，在直角坐标系xoy 中，二次函数m nx x y -++=243212的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中，点A 在点B 的左边，若∠ACB=90°，1=+COBOAO CO . （1）求点C 的坐标及这个二次函数的解析式；（2）设计两种方案，作一条与y 轴不重合，与△ABC 两条边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△AOC 面积的41，求所截得的三角形三个顶点的坐标.3.如图8-8，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过x 轴上的两点()0,1x A ，()0,2x B 和y 轴上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,0C ，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若a b 3=，32=AB .（1）求抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否过圆心P ？并说明理由； （3）设直线BD 交P 于另一点E ，求经过E 的P 的切线的解析式4.（1）画函数|132|2+-=x x y 的图象； （2）为使方程b x x x +=+-31|132|2有四个不同的实根，求b 的变化范围.5.要使二次方程()0412=-+-x a ax 的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a 的值：()。