因式分解之套公式法【知识精读】1.把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

常用公式有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 2. 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

【典例精析】（一）运用公式分解因式1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222--分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。

再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2.因式分解：x xy 324-=________。

解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

3.分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。

解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

4.分解因式：x 3-9x+8． 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 5.分解因式：-2x5n-1y n +4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；解 (1)原式=-2x n-1y n(x 4n-2x 2ny 2+y 4) =-2x n-1y n[(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2] =-2x n-1y n(x 2n-y 2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)26.将下列式子因式分解222x y z - 2422a xb y - 224x xy y ++229()4()x y x y --+ 22()()a b c a b c ++-+-2()6()9x y x y ++++ 224()a b c -+53x x - 22344xy x y y --（二）.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用7. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。

解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b+=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =128. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

解：a ab b ac c bc 222222++-+-=+-++()()a b c a b c 222 =+-()a b c 2Θa m b m c m =+=+=+121122123，， ∴原式=+-()a b c 2=+++-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=()()()1211221231422m m m m说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

9. 已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5550++=证明：Θa b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 555若b =0或c =0，同理也有a b c 5550++= 说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。

10. 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

解：Θx y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 229-+=)1(92322=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2292-+=()两式相减得xy =0 所以x y 229+=说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

11.已知：2211128,22x y x xy y ==++，求代数式的值。

12.3322322a b ab +==已知，，求代数式a b+ab -2a b 的值。

（三）. 在几何题中的应用13.已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成-2ab 。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：Θa b c ab bc ac 2220++---= ∴++---=2222220222a b c ab bc ac∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220 ∴-+-+-=()()()a b b c c a 2220 Θ()()()a b b c c a -≥-≥-≥222000，， ∴-=-=-=a b b c c a 000，， ∴==a b c∴∆ABC 为等边三角形。

14.已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边，且22223=+b+c a b c a ++（）（），判断三角形的形状，并说明理由。

15.已知a 、b 是一个等腰三角形的两边长，且满足22a +b -4a-6b+13=0 ，求此等腰三角形周长。

（四）. 在代数证明题中应用 16.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数） 则()()232122n n +-+=++++--=+=+()()()()2321232124481n n n n n n由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。

17.证明：两个连续偶数的平方差是4的倍数。

课后作业1. 分解因式：（1）()()a a +--23122解：原式=++-+--[()()][()()]a a a a 231231=+-+()()4123a a =-+-()()4123a a说明：把a a +-231，看成整体，利用平方差公式分解。

（2）x x y x y x 5222()()-+- 解：原式=---x x y x x y 5222()() =--x x y x 2321()()=--++x x y x x x 22211()()()（3）a x y a x y x y 22342()()()-+-+-解：原式=-+-+-()[()()]x y a a x y x y 2222 =-+-()()x y a x y 222. 已知：x x +=-13，求x x 441+的值。

解：Θ()x x x x +=++121222∴+=+-=--=x xx x 2222112327()()∴+=∴++=()x x x x 222441491249， ∴+=x x441473. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c bc 22220---<分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

证明：Θa b c bc 2222---=-++=-+=++--a b bc c a b c a b c a b c 222222()()()()Θa b c ，，是三角形三边 ∴++>a b c 0且a b c <+ ∴++--<()()a b c a b c 0 即a b c bc 22220---<4. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。

解Θωω210++=∴+++=()()ωωω1102，即ω310-= ∴=∴==ωωω32001366711()5. 已知a b c ，，是不全相等的实数，且abc a b c abc ≠++=03333，，试求 （1）a b c ++的值；（2）a b c b c a c a b()()()111111+++++的值。

分析与解答：（1）由因式分解可知a b c abc a b c 3333++-=++()⋅++---()a b c ab bc ca 222故需考虑a b c ab bc ca 222++---值的情况， （2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。

解：（1）Θa b c abc 3333++= ∴++-=a b c abc 33330 又Θa b c abc 3333++-=++++---()()a b c a b c ab bc ca 222∴++++---=()()a b c a b c ab bc ca 2220 而a b c ab bc ca a b b c c a 22222212++---=-+-+-[()()()] Θa b c ，，不全相等∴++--->a b c ab bc ca 2220 ∴++=a b c 0（2）Θabc ≠0 ∴原式=+++++1222abca b c b c a c a b [()()()] 而a b c ++=0，即a b c =-+()∴原式=+--1333abc b c b c [()] =+13abcbc b c [()]=-=-133abc abc ()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。