河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学（时间120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集*U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}【答案】A【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}A B =I ，∴(){1,2,3}U A B =I ð． 2．（2016郑州一测） 设1i z =+（是虚数单位），则2z=（ ） A ． B ．2i -C ．1i -D ．0【答案】C【解析】直接代入运算：221i 1iz ==-+． 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin aA=，则cos B =（ ）A ． 12-B ．12C ．D ． 【答案】Bsin a A =sin sin AA=．∴tan B =，0B π<<，∴3B π=，1cos 2B =．4．（2016郑州一测）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ． 1D ． 【答案】C【解析】()cos sin xxf x e x e x '=-， ∴0(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2x f x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出1()2x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）A ．7i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥【答案】B【解析】135333273++=．7．（2016郑州一测）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514x y -=D ．225514y x -= 【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8． 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（ ） A ．1B ．2C ．D ． 1-【答案】A【解析】∵()86f x x x '=-+，∴140318a a ⋅=，∴220166a =， ∵20160a >，∴2016a =20161a =．9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A ．23B ．43C ．83【答案】A【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,3]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】C【解析】∵1[,3]2x ∈，()4f x ≥=， 当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+．依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．（2016郑州一测）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．2-C ．2-D ．【答案】D【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==，1BF =．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a =．∴222)AF a m a =-=． ∵2221212AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +-=，∴29e =-e =-．12．（2016郑州一测）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】∵不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解， 当()0f x >时，则0a <，不合题意； 当()0f x <时，则2x >． 依题意22[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，∴9306480a a -<⎧⎨-≥⎩，∴38a <≤，故选D ．xy–1–2–3–412345678–1–2–31234二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．二项式62()x x-的展开式中，2x 的系数是_______． 【答案】60【解析】662166(2)(2)r rr r r r r r T C x x C x ---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．14．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 【答案】24π【解析】12124382P ππ===⨯⨯．15．ABC ∆的三个内角为,,A B C7tan()12π=-，则2cos sin 2B C+的最大值为________． 【答案】32【解析】tantan743tan()tan()1243tan tan 143πππππππ+-=-+==-7tan()12π=-=∴sin cos A A =，∴4A π=．332cos sin 22cos sin 2()2cos sin(2)42B C B B B B ππ+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-1332(cos )222B =--+≤．16．已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r(2,m λ<≤2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．【答案】4+【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==u u u r u u u r， ∵AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．∴313x y λμλμ=+⎧⎨+=+⎩，∴318338x y x y λμ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩，∵2,2m n λμ<≤<≤，∴31283328x y m x y n--⎧<≤⎪⎪⎨-++⎪<≤⎪⎩，即1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩∴1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩表示的可行域为平行四边形，如图：由317313x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得(8,7)A ，由381313x y m x y -=+⎧⎨-+=⎩，得(32,2)B m m ++， ∴(2)AB m ==-,∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-的距离d =，∴(2)16AB d m ⋅=-=， ∴(2)(2)2m n -⋅-=， ∴2222(2)(2)()2m n m n -+-=-⋅-≤，∴2(4)8m n +-≥，4m n +≥+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由已知得1(1)221nS n n n=+-⨯=-， ∴22n S n n =-．当2n ≥时，2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．11413a S ==⨯-，∴43n a n =-，*n ∈N ．（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--． 当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422n nT n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯=， 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,21,21,.n n n k k T n n k k **⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N18．（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ， 由题意，20.36,0.6p p ==，基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==∴基地收益X 的分布列为：()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴基地的预期收益为14.4万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．19．（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=o ，12AB AD CD ==，BE DF ⊥．（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小． 【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ． （2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设DA a =，DE b =，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-u u u r u u u r u u u r，∵BE DF ⊥，∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅=--⋅=-=u u u r u u u r，b =．设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，则00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m，即00ax ay ax ay ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则=m ， 注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分而1cos ,||||2⋅<>==⋅m n m n m n ，FD MACBE y zxFD M AC B E N∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60o ．20．（本小题满分12分）已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长． 【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=，整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求． （2）由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ， 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，由2y x y x t=-⎧⎨=-+⎩ ，得22(,)22t t P +-，由圆的几何性质，1||||2NP CD ==，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||EP =， 解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1 1.⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y不失一般性，设(11),(11)C D -，由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩， 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴方程⑴的两根之积为1，∴点A的横坐标2A x =∵点(11)C --在直线1:10l x my --=上，解得1m =+，直线1:1)(1)ly x =--，∴(2A ．同理可得，(2B -，∴线段AB 的长为21．（2016郑州一测）设函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，0m >． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，当x >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．综上，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是．（2）令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，(1)()()x x m F x x--'=-， 当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点． 当1m >时， 01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ．（1）求证：EC EF =；（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠，∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， ∴CEA ∆∽DEC ∆，即2,CE DE EC EA EA CE DE==， 由（1）知，3EC EF ==，∴92EA =， ∴45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C的参数方程为212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C的极坐标方程为)4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的动点M 到曲线C 的距离的最大值．（2）1C 的直角坐标方程为由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离 ∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为 A B E FC D24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+（1）解不等式()1f x >；（2）当0x >时，函数21()(0)ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围． 【解析】∵211x x --+>，∴131x <-⎧⎨>⎩，或12121x x -≤<⎧⎨->⎩，或231x ≥⎧⎨->⎩， 解得0x <，∴原不等式的解集为(,0)-∞．（2）∵1()11g x ax x=+-≥-，当且仅当x =∴min ()1g x =-，12,02,()3, 2.x x f x x -<≤⎧=⎨- >⎩∴()[3,1)f x ∈-，∴11-≥,即1a ≥为所求．。