采用正态近似.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所
至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率
保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
1, 第i台机床工作 i=1, 2,…, 200, Xi 0, 第i台机床不工作
r 120 r 120 17.32 0.999 48 48 r 120 查标准正态分布表得 ＝3.1 48 所以 r=141. 该结果表明, 若供电141KW, 那么由于供电
不足而影响生产的可能性小于0.001.
1 4 故Zn近似服从正态分布 N , . 3 45n
例1-2 某汽车销售点每天出售汽车数服从参数 为2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出 700辆以上汽车的概率. 解 记Xi为第i天出售的汽车数量, Y X1 X 2 X 365 为一年的总销量. 由 E X i D X i 2 , 知 E Y DY 730. 利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得 700 730 P Y 700 1 P Y 700 1 730 1 1.11 0.8665. 则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.
由定理4.8得
Yn np lim P n np1 p
n X i np i 1 lim P n np1 p
1 2 π
2 t x e 2 dt
x
x
证毕.
因此随机变量 Yn
Xi EXi
i 1 i 1 n
n
n
D X i i 1 近似服从标准正态分布N0, 1.
计算得
1 99 100 i E X 49.5 1 i 99 100 2 100 i 1 i 1
n
另一方面, 因为 3 3 E X i pi pi 1 pi pi3 1 pi pi 1 pi pi2 1 pi 2 pi 1 pi


于是 n 3 1 1 0 E X pi 1 3 i n Bn i 1 2 n pi 1 pi i 1 即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.
正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi X i2 , ( i 1,2,, n) E ( Yi ) E ( X i2 ) D( X i )
D( Yi ) E (Yi2 ) [ E ( Yi )]2 E ( X i4 ) [ E ( Yi )]2 1 4 1 1 4 因为 E ( X i ) xi dxi , 1 2 5
n
lim Fn x lim P
n
x Yn

x
1 2π
2 t e 2 dt
正态分布N 0, 1, 记为Yn ~ AN 0, 1 . n越大,
注 1 当 n 时,随机变量Yn 渐近服从标准
近似程度越好.
n i 1
2 Yn X i ~ AN nμ, nσ 2
此学生通过考试的可能性很小, 大约只有
千分之五可能性.
定理4.10 棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量Yn服从二项分布Bn, p, 则其标准化
随机变量
Yn
Yn np np1 p
的分布函数的极限为
Yn np lim P n np1 p
1 x 2 π
内容小结
独立同分布情形
林德贝格 列维中心极限定理 中 心 独立不同分布情形 极 限 李雅普诺夫定理 定 二项分布的正态近似 理 棣莫佛 拉普拉斯定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间1, 1 上服从均匀分布i=1, 2,…, n, 试证 n 1 近似服从 当 n充分大时, 随机变量 Z n X 2 i n i 1
n


2 1 X X i ~ AN , n i 1 n 3 定理4.8表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk
k=1, 2,…, 20. 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间0， 10上服从均匀分布, 记V Vk ,
k 1
Vk 20 5
20
定理4.9 李雅普诺夫(Liapunov)定理 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 它们具有数学 期望与方差
E X i i , D X i i2
i 1, 2,, n
记
2 Bn

i 1
n
2 若存在正数, σi ,
2 t x e 2 dt
证 令
1, 第i次试验 A发生 Xi 0, 第i次试验 A不发生
Yn X i
i 1 n
i 1, 2,, n
X1, X2,…, Xn独立, 同时服从B 1, p 分布, 且
由于 EXi p, DXi p 1 p i=1, 2,…, n,
1 1 4 所以 D( Yi ) , 5 3 45
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn 相互独立, 根据定理4.8
Yi n Zn X 2 i
i 1 近似服从正态分布N , , 3 45
注 1 定理4.10表明正态分布是二项分布的极限 分布也称为“二项分布的正态近 似”. 2 与“二项分布的泊松近似”相比较, 两种近 似 都要求n很大. 3 实际应用中当n很大时,
1 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似;
2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,
n 越大,近似程度越好.
二、中心极限定理
定理4.8 林德贝格-列维中心极限定理 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 服从同一分布,
且具有数学期望与方差 EXi , DXi 2 0 i=1, 2,…, n
则随机变量
Yn
X i n
i 1
n
n 的分布函数Fnx 对于任意 x 满足
而该学生通过考试的概率应为
99 P X 60 i i 1
99 X i 49.5 60 49.5 i 1 P 16.665 16.665 1 2.5735 0.0050
1, 学生答对第i 题 Xi 0, 学生答错第i 题
i 1, 2,, 99
于是 Xi 是两点分布: PX i 1 pi ,
PX i 0 1 pi
为了使其成为随机变量序列, 我们规定从 X100开始 都与X99同分布, 且相互独立, 于是
2 Bn D X i Pi 1 pi i 1 i 1 n n
第二节 中心极限定理
一、问题的提出
二、中心极限定理
下
回
停
一、问题的提出
由上一节大数定理,我们得知满足一定条件
的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但
我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限 定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现 n 个相互独立同分布
的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且
2 t e 2 dt
注 1 定理4.9是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有 Yn ~ AN 0, 1
而
n n 2 , X i ~ AN i i i 1 i 1 i 1 n
2 由定理4.8及定理4.9可以看出, 正态随机
使得当n时
Bn
2 δ E X μ 0 i i 2 δ i 1
1
n


则随机变量
Yn
X i i
i 1 i 1
n
n
Bn
的分布函数Fnx 对于任意 x 满足
n
lim Fn x lim P
n
x Yn

x
1 2π
20
求P V 105的近似值.
k 1
解 由于VkU 0, 10 , 易知 100 k 1, 2,, 20 E Vk 5, DVk 12 由林德贝格-列维中心极限定理知
Yn
V 100 近似服从标准正态 20 100 5 10 分布N0, 1, 于是 12 3 V 100 105 100 P V 105 P 5 5 10 10 3 3 V 100 15 1 P 1 0.387 0.348 10 5 10 3
200
则 X X i 表示工作的机床台数, 且
X ~ B200,0.6.
i 1
问题是求r, 使
PX r
k 0
k 200 k k C 0 . 6 0 . 4 0.999 200
r
由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有
0 200 0.6 P 0 X r P 200 0.6 0.4 X 200 0.6 r 200 0.6 200 0.6 0.4 200 0.6 0.4 r 200 0.6 200 0.6 200 0.6 0.4 200 0.6 0.4