f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
下面我们举例说明中心极限定理的应用
Hale Waihona Puke 例1 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变 量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm， 均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合 格，试求产品合格的概率。
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它 的标准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Z n k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的分布函数的极限.
考虑
n
n
Xk E( Xk )
Z n k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
观察表明：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
2 60 1 0.9624
50060
比较几个近似计算的结果
用二项分布(精确结果)
P X 10.010.959 60060
用Poisson 分布
P X 10.010.937 60060
用Chebyshev 不等式 P6X001 600.010.768
用中心极限定理
P6X001 600.010.962
的分布函数的极限.
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
X i n
Yn i1 n
的分布函数 F n ( x ) 满足如下极限式
n
X k nYnn近似服从 N(n,n2)
k 1
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n ，不管
Xi(i1,2,L,n)服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n,n2 i1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
n n(1 pp) 2
即对任意的 a < b,
liP m aY nnp b 1
bt2
e2dt
n n(1 p p ) 2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则
X ~ B(6000,1/6) E(X)10,0D(0X)5000
6
X近~似N100,506000
P6X000160.01 P X 10 6 0 0 0 10 61000 0941 0000
506 00 506 00
60 60
500 60 500 60
E ( X k ) 2 ,D ( X k ) 1 .5 2 ,k 1 ,2 , , 10
X1,X2,,X100相互独立，
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
100
X X k,E (X )20 ,D 0 (X )2,25
k 1
近似
X~N(20,2 02)5
例3 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 1.5 . 如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
5.2 中心极限定理
1.中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机
因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
200.1.0225019.09.02250
2
0.1 0.025
1
0.4714
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
liP m Y nnpx 1
x t2
e2dt
0.07
0.06
0.05
0.04
P
0.03
0.02
0.01
0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率.
解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,…,10)，则
10
E(Xi ) 2 (Xi)0.05 X X i i1
由定理可知：X近似地服从正态分布
N102,100.052 即 N20,0.025
续解 则产品合格的概率为
P X 2 0 0 .1 P 1 9 .9 X 2 0 .1
B(20,0.5)时, x的概率分布图
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 5 10 15 20
Poisson分布相当于二项分布中p很小n很大的 分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候Poisson分布也近似服从正态分布, 下面 是l=30时的Poisson概率分布图.
0.08
n
lni m Fn(x)lni m Pi1
Xninx
x
1
t2
e 2dt
2
注： 记
n
X k n
Yn k1 n
n
则Y n为 X k 的标准化随机变量.
k 1
ln iP m Y n x (x )
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数
Yn近~ 似N(0,1)