3.定积分的几何意义及简单应用
作业:P52
第1题(1)(3) 第 4题
a
变力作功问题可表示为
W

b
a
F ( x)dx
举例 1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴 所围成的曲边梯形的面积,用定积分表 3 2 示为____________. 1 ( x 1)dx 2 积分下限 2. 2sin 3tdt 中,积分上限是___, [-2,2] -2 积分区间是______ 是___,
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
a
b
f ( x)dx f (t )dt f (u )du
a a
b
b
曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形面积可用定积分表示为
b
S f ( x)dx
y
o
a
b
x
问题情境:
它们都归结为:分 1.曲边梯形面积问题割、近似求和、 ; 取逼近值
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由
此我们可以给定积分的定义
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 x(x b a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
三 .定积分的几何意义. 当 f (x) ≥ 0，定积分
y
y=f (x) A

b
a
f ( x)dx
S
o a b
x
的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积 即 :

b
a
f( x ) dx S
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时 定积分
y y y
y=sinx
O
X
y=x2-4x-5 -1
O
5
X
y=cosx 3 2 2
O
X
S=______;
S=______;
S=______;
四、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
Sn f (x1 )x f(x2 )x f(xn )x
如果 x 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S

b
a
f(x)dx .
积 分 上 限

b
a
f ( x)dx
积 分 下 限
被积函数
积 分 变 量

b
a
f ( x)dx几何意义
y o a b
就是位于 x 轴下方的曲 边梯形面积的相反数.
b
即 f ( x)dx S
a
S
y=f (x)
当函数 f (x)在 x[a, b] 有正有负时,
定积分 f ( x)dx
a
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x
轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)

b
几何意义
即 f( x ) dx S1 S2 S3
a
b
y
S1
O
S3
S2
X
例题分析: 求定积分，只要 1求下列定积分:理解被积函数和 (1) 0 ( 2x 4) dx
(2)
5
定积分的意义， 并作出图形，即 可解决。

1
2
Байду номын сангаас
0
sinxdx
2
(3) 1 x dx
1
用定积分表示下列阴影部分面积
2
2
5 3.定积分 ( x 1) dx =__________. 1 3 2 8 4.定积分 4dx _ _ _ _ _ _ _ _._ _
1
思考:
函数在区间[a,b]上的定积分 能否为负的?
定积分

1
2
( x 1) dx __________ __ .
定积分

2
1
( x 1) dx =__________.