圆心角和圆周角及之间的关系
欧阳光明（2021.03.07）
内容（课题）:圆心角和圆周角及之间的关系
教学目的：1、了解圆周角的概念。

2、理解圆周角定理的证明。

3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。

4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。

重难点（考点）分析：
要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。

教学过程：
一、圆周角与圆心角的定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：
(1)顶点在圆上；
(2)两边都和圆相交。

圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
二、看一看
A
O
B C
有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC
它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧BC
三、猜想归纳：请画出弧BC所对的圆周角. 若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆
周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC与∠BAC有何数量关系？
A
B C
O
A
B C
O
四、证明圆心角与圆周角之间的关系
1、首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
∵∠BOC是△ACO的外角
∴∠BOC=∠C+∠A
∵OA=OC，
∴∠A=∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠BAC = 1/2∠BOC
2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考：能否转化成1中的情况？
证明：过点A作直径AD.由1可得:
∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD
∴∠BAC = 1/2∠BOC.
3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考：同样是否能转化成1中的情况？
过点B作直径AD.由1可得:
8.△ABC 中，∠B＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，若BC=12，AB=12，则的度数为（ ）
（A ）60° （B ）80° （C ）100° （D ）)120°
9.如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，D 是AB 上一点，AB 与CD 交于E 点，则图中60°的角共有( )个．
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
10.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为（ ）
（A ）70° （B ）65° （C ）60° （D ）)50°
二、填空题：
1.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______
度.
C
B
A
O D
C
B
A
O
E
D C
B
A
O
(1) (2) (3)
2.如图5,AB 是⊙O 的直径,BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.
3.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
三、解答题：
1．如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，过点O 作OD AC ⊥于D ，连结BC ．
（1）求证：12OD BC =； （2）若40BAC =∠，求ABC 的度数． 2.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.
30︒
D
C
B
A
O
3.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.
A
B
C D
O （图1）
D
C
B
A
O
四、能力提升：
如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：________
教学总结：。