南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届）题目：院（系、部）：专业：姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制目录1.引言 (5)2、测不准关系的理论背景 (5)2.1 粒子的波动性 (5)2.2波的粒子性 (6)3．测不准关系式的简要导出 (7)3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7)3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7)3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7)3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。

(7)4 对测不准关系的认同与争议 (9)4．1对测不准关系的争议 (9)4.1.1统计解释与非统计解释 (9)4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9)4.1.3关于名称和译名的争议 (10)4．2对有争议问题的讨论 (10)4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10)4.2.2某些力学量测不准的原因 (11)4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11)5 测不准关系的应用 (11)5.1无限深势阱问题 (12)5.2 线性谐振子问题 (13)5.3 氢原子问题 (15)结语 (16)谢辞 (17)参考文献 (17)摘要测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。

它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。

本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。

通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.关键词：测不准关系；量子力学；估算AbstractThe uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It showed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.This paper focuses on the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential well, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics；estimation1.引 言测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。

量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。

这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。

测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥∆∆x p x ，2 ≥∆∆y p y ，2 ≥∆∆z p z ，2 ≥∆∆t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。

在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。

相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。

2、测不准关系的理论背景微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。

我们可以以两个不同方面的例子来说明。

一是从粒子(电子)的波动性，二是从波(光)的粒子性。

2.1 粒子的波动性一束动量为p 的电子通过宽为x ∆的单缝后发生衍射，而在屏上形成衍射条纹。

对一个电子来说，它是从宽为x ∆的缝中通过的，因此它在x 方向上的位置不确定量为x ∆;忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，在x 方向有θ角偏转，表明电子通过缝时在x 方向的动量不确定量为21∆=x p θs i n p ，第一级暗纹中心的角位置由下式决定:λθ=∆sin x ，根据德布罗意公式p h =λ，得x p h ∆=θsin ，则动量不确定量为21∆x p =xh ∆，考虑到衍射条纹的次级极大，可得h p x x ≥∆∆，这就是不确定关系[。

2.2 波的粒子性1923年康普顿及后来的吴有训进行的X 射线通过物质时的散射实验，不仅有力地证明了波(光)具有粒子性，而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格地遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。

根据光子理论，X 射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。

由于光子在空间至少要展开德布罗意波长λ的范围，在测定它与电子碰撞位置时的不准确度也就至少在λ的范围内。

这就是说，如果用x ∆来表示电子位置的不准确度，那么，x ∆总是要不小于光子的波长λ，即x ∆λ≥。

在碰撞时，光子将动量传给电子，所传递动量的大小取决于碰撞是正碰还是斜碰。

一般来说，传给电子的动量不可能大于光子原有的动量，电子在碰撞后动量的不准确度∆x p 约x p ，则有h p x x ≥∆∆。

海森伯对这一近似关系式进行了更仔细地数学分析后，发现2 ≥∆∆x p x ，π2h = =1.0545887x 3410-J ·S 。

海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。

于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。

”以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。

因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。

3．测不准关系式的简要导出测不准关系的常见模式通常由以下四种类型导出3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系。

如果单缝的宽度为a ，那么电子坐标不确定度x a ∆=,根据衍射实验我们知道动量不确定度θsin Px Px =∆,根据衍射理论有θλsin a =,因此有λθPx aPx Px x ==∆∆sin ,得ho P x =∆∆又因为次级衍射的存在，所以有ho P x ≥∆∆.3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式。

如：用一维无限深势阱中基态粒子的坐标与动量的关系可以导出测不准关系式。

设势阱宽度为 a ,坐标不确定度π2/a x >∆,动量不确定度a h Px 2/=∆,得π4/h Px x >∆∆3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式。

如果算符F 和G 的对易关系为FG-GF=iK ，那么有2^)(F ∆2^)(G ∆≥2^K /4而坐标和动量的对易关系为^x Px ⋅-^Px X=ih/2π，因此有π222216/)()(h Px x ≥∆⋅∆，得π4/h Px x ≥∆∆. 3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。

普朗克在解释黑体辐射的能量分布规律时提出的能量量子化：nhv E = n=1,2,3 (2)玻尔在氢原子理论中提出轨道量子化条件：nh P =Φπ2 n=1,2,3....（3）德布罗意在总结了数百年来对光和实物粒子的研究情况后提出了实物粒子的波粒二象性hv E =（4） λ/h p = （5）由（2）（4）整理可得h ET =(取n=1) （6） 由（3）式整理可得h P =Φπ2(取n=1) （7） 由（5）式整理可得h P =λ （8） 在（6）（7）（8）这三式中，每一式都含有一个守恒量，即E ，P Ф，P,它们各自与对应的周期的乘积均为一个共同的常数ho,这是几个基本假定的一个共同特性。

再将（6）（7）（8）与（1）进行比较得另一个共有特性，即每一个测不准关系式都有一个基本假定与之对应，即h P h q Pi =→≥∆∆λ1h ET h T E =→≥∆∆h P h L =→≥∆∆πφφ2并且都可以由假定的基本是简洁的得出相应的测不准关系式，下面说明一个，其他的可以类推。

由：P λ=h,取其增量：0=∆⋅+∆+λλP Pλλ∆=∆)/(P P式中的负号表示P 和λ这一对共轭力学量中一个增加，而另一个就必然减少。

在此处我们只考虑偏差，可以不计负号，因此上式变为λλ∆=∆)/(P P （9）由量子论我们知道，与一个实际的微观物质粒子的某一力学量的增量相缔合的是一个“波包”。

而实际的“波包”都可以看场是由ΔP(或Δλ)内许多个单色平面正弦波的叠加而成。

因此有：ψ（xt ）=λψλλψλd xt C dp xt p Cp P )()(⎰⎰∆∆=ψP λ=h 中的P.λ都为统计平均值，而任一时刻沿X 方向传播的平面波的传播增量Δx 必定为λ的整数倍。

即：λn x =∆ (10)由（9）·（10）得)(λ∆=∆⋅∆n P x p .式中的（n Δλ）代表物质波的伸长或缩短，根据量子化的特性有λλN n =∆,式中的N 为整数，因此有λN P x P ⋅=∆⋅∆,而h P =λ,因此Nh x P =∆⋅∆.即：h x P ≥∆⋅∆.其余两式不再叙述。