及变量 z 的函数 u = f( z) 都可微 , 则 ( 5 . 7)
d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) ・ f( z) dz du dz 性质 4 若 n 阶函数矩阵 A( z) 可逆 , 且 A( z) 及其逆阵 A ( z) 都可微 , 则 d -1 -1 d -1 A ( z) = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 证明性质 2 设 A( z) B ( z) = C( z) 〔 d A( z) 〕 B( z) = H( z) dz A( z)
f f , …, x1 xn
( 5. 14)
d d d 〔 a f( X) + bg( X) 〕 = a f( X) + b g( X) dX dX dX 性质 3 d d d 〔 f( X) ・ g( X) 〕= g( X) f( X) + f( X) g( X) dX dX dX d d f f ( X) 及 g ( X) 的 i 行 j 列 元 素 分 别 是 , dX dX x ji
m× n m ×n
d a ( z) dz 12 d a 22 ( z) dz d a m2 ( z) dz
… …
d a ( z) dz 1n d a 2n ( z) dz d a mn ( z) dz
…
( 5 . 5)
设函数矩阵 A( z) , B( z) 分别是 m × n 及 n× s 阶矩阵 , 且 A( z) , B( z) 都可微 , ( 5 . 6)
这里需注意的是 , 由于矩阵的乘法不满足交换律 , 所以上式中乘积的顺序一般是不能交换的。 若 K 是一个常数矩阵 , 则有 d d 〔 K・ A( z) 〕 = K A( z) dz dz d d 〔 A( z) ・ K〕 =〔 A( z) 〕 ・K dz dz 这两个式子也不能交换顺序。又如 d 2 d d 〔 A ( z) 〕 = 〔 A( z) 〕 A( z) + A( z) A( z) dz dz dz ≠2A( z) 证明性质 3, 因为 d d d a〔 a ij ( u) f( z) ij f( z) 〕 = dz du dz 由此立刻得出 d d d A 〔 f( z) 〕 = A( u) f( z) dz du dz 证明性质 4, 因为 A ( z) ・ A( z) = E 所以 d -1 dA ( z) -1 d 〔 A A( z) 〕 = A( z) + A ( z) A( z) = 0 dz dz dz d -1 -1 d -1 〔 A ( z) 〕 = - A ( z)〔 A( z) 〕 A ( z) dz dz 例1 其中 x1 ( t) χ= x2 ( t) … xn ( t) 解 d T d T T d χ Aχ+ χA χ 〔 χ Aχ 〕= dt dt dt = χA
定义 5. 3
矩阵理论及其应用
a 11 ( z) A( z) = a 21 ( z) a n1 ( z) 定义 5. 4 若函 数矩阵 A( z) = ( a ij ( z) )
a 12 ( z) a 22 ( z) a n2 ( z)
… … …
a 1n ( z) a 2n ( z) a n n ( z)
x12 x22 xm2
… … …
x1 n x2 n xmn … … … a 1q ( X) a 2q ( X) a pq ( X)
而p × q 阶矩阵 A( X) 是以 X 为变元的函数矩阵 a 12 ( X) a 22 ( X) a p2 ( X)
设 X = ( xi j ) 是 m × n 阶矩阵 , A( X) 是以 X 为变元的 p × q 阶矩阵 , 则称 np × mq A( X) x21 A( X) x2 n A( X) x11 A( X) x1n a 11 ( X) x ij a p1 ( X) x ij A( X) xm1 A( X) xmn A( X) xm1 A( X) xmn a 1 q ( X) xij a pq ( X) xij
〔 a ∑ ∫ dt
k=1
n
d
ik
( t) 〕 bkj ( t) dt
∫A( t)
设有 m × n 阶矩阵
d d B( t) dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
∫
复合矩阵 A( X) 对矩阵 X 的微分法
x11 X = x21 xm1 a 11 ( X) A( X) = a 21 ( X) a p1 ( X) 现在讨论 A( X) 对 X 的微分法 定义 5. 6 阶矩阵 A( X) x11 A( X) x1 n 为函数矩阵 A( X) 对矩阵 X 的导数 , 记为
n - 1
( 5 . 8)
d B ( z) = D( z) dz j = 1, … , s
元素 ci j ( z) = 那么
∑a
k=1
ik
( z) bkj ( z)
n
i = 1, … , m
d d ci j ( z) = ∑ 〔 a i k ( z) bkj ( z) 〕 dz k = 1 dz d =∑ 〔 a i k ( z) 〕 bkj ( z) + dz k=1
ik
所以
〔 ∑a ∫
k= 1
ik n
( t)
= = 98
∫a ∑
k=1 n
( t)
d b kj ( t) dt dt d a ∫ dt
ik
∑{ a
k=1
ik
( t) bkj ( t) - 〔
( t) 〕 bkj ( t) dt}
第5章
矩阵分析及其应用
n
= 故 5.2.2
*
∑a
k=1
ik
( t) bkj ( t) -
第5章
矩阵分析及其应用
d tr( AX) = A dX
n n 1i n 2i
因为 tr( AX) =
∑a
i= 1
xi1 +
∑a
i =1
xi2 + … +
∑a
i =1
mi
xi m
x ij 所以 再由 立即有
tr( AX) = a ji
m1
( t) dt
…
mn
( t) dt
A ( t) dt =〔 A( t) dt 〕 ∫ ∫
T T
( 5 . 9)
性质 2
对函数矩阵 A( t) , B( t) 及 a , b∈ R, 有 〔 a A( t) ∫ + bB( t) 〕 dt = a A( t) dt + b B( t) dt
∫
∫
( 5. 10)
∫a ∫A( t) dt
a b a
b
11
( t) dt
…
∫a
a
b
1n
( t) dt
=
∫a
a
b
m1
( t) dt
…
∫a
a
b
mn
( t) dt
为 A( t) 在 〔 a , b〕 上的定积分 , 而
∫a
A( t) dt ∫ =
11
( t) dt
…
a ∫ a ∫
1n
( t) dt
∫a
称为 A( t) 的不定积分。 易证矩阵的积分有以下性质 : 性质 1 对任何函数 A( t) , 有
性质 3
对函数矩阵 A( t) 及常矩阵 B, C, 有 A( t) Bdt =〔 A( t) dt 〕 B ∫ ∫ CA( t) dt = ∫ C A( t) dt ∫ ( 5. 11) ( 5. 12)
性质 4
对于函数矩阵 A( t) , B( t) , 有 〔 A( t) ∫ d d B( t) 〕 dt = A( t) B( t) - 〔 A( t) 〕 B( t) dt dt dt
n n
∑a
k=1
ik
( z)
d bkj ( z) dz
96
第5章
矩阵分析及其应用
= h ij ( z) + d i j ( z) 其中 c ij ( z) , h ij ( z) , d i j ( z) 分别是函数矩阵 C( z) , H ( z) , D( z) 的元素 , 可得 d d 〔 A( z) B( z) 〕 = C ( z) dz dz = H ( z) + D( z) = d d B( z) A( z) B( z) + A( z) dz dz
其中每个元素 a i j ( z) 都是复变量函数 , 称 A( z) 为函数矩阵。
m× n
的每 个元素 a i j ( z) 都是复变 量 z 的 函数 , 且都
在 z = z0 或变量 z 的某个区域 D 上可微 , 则称此函数矩阵 A( z) 在 z = z0 或区 域 D 上是可 微的 , 并规定 A( z) 对 z 的导数为 d d A( z) = ( a i j ( z) ) dz dz d a ( z) dz 11 = d a 21 ( z) dz d a m1 ( z) dz 单元函数矩阵有以下性质 : 性质 1 若函数矩阵 A( z) , B( z) 是可微的 , 则它们的和也可微 , 且 d d d 〔 A( z) + B ( z) 〕 = A( z) + B( z) dz dz dz 性质 2 d d d 〔 A( z) B( z) 〕 =〔 A( z) 〕 B( z) + A( z)〔 B( z) 〕 dz dz dz 性质 3 设函数矩阵 A( u) = ( a ij ( u) )
∫
( 5. 13)
下面只证性质 4, 设 A( t) = ( a i j ( t) ) 则 A( t) ・ d B( t) 的 i 行 j 列元素为 dt