矩 阵 微 分 法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式d d AB来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。

除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。

下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。

一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ）定义1 对于n 维向量函数[]12()()()......()Tn t a t a t a t = a定义它对t 的导数为12()()()()Tn d a t d a t d a t d t dt dtdt dt ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ……… （1－1）定义2 对于n × m 维矩阵函数1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤= =⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦A定义它对t 的导数为1111212()()()()()()()()Tn i j n m n nn n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ A ………（1－2）我们不难看出，上述两个定义是一致的。

当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。

再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。

这说明这样定义是合理的，是统一的。

根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式{}()()()()d d t d t t t dt dt dt ±=±A B A B ………（1－3） {}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数{}()()()()()()d d t d t t t t t dt dt dt⋅=⋅+⋅A B A B B A ………（1－5） 这些公式都很容易证明，现证明最后一式（1－5），设矩阵A (t) 和B (t) 分别为n ×m 和m ×l 矩阵证：11121112()()()()()()()()()T n T n n nm n a t a t a t t t a t a t a t t ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a A a[]111211212()()()()()()()()()()m m m b t b t b t t t t t b t b t b t ⎡⎤ ⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦B b b b1111()()()()()()()()()()()()T TTi j n T T n n t t t t t t t t t t t t ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤⋅= =⋅⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦a b a b A B a b a b a b从而根据矩阵导数定义2，有[]()()()()()()()()()()()()Ti j n T j Ti j i n d d t t t t dt dtd t d t d t d t t t t t dtdt dt dt ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎡⎤ =⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎣⎦A B a b b a A B b a B A证毕例1：求T X A X 对t 的导数，其中1()()n x t x t ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ X 1111n n n n a a a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦A —— 对称常系数矩阵 解()[]()2d d d dt dt dtd d d dt dt dt ⋅⋅⋅=⋅+⋅ =⋅+⋅⋅ =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ =+ = T X A X X A X A X X X A XA X X X A XA X X A X X A X X A X X AXX AX X AX T TT T T T T T T T T T +=()即2T T d ()dt=X A X X A X ………（1－6） 注：T XA X 和T X A X 都是数量函数且A 为对称阵，它们等于自己的转置。

习题1．若 12 ⎡⎤=⎢⎥2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。

2．若 1 1⎡⎤=⎢⎥2 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 证明上式。

3．若 1 0⎡⎤=⎢⎥0 1⎣⎦A 12()()x t x t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X 求 []T d X A X dt二、 相对于向量的微分（自变量是向量X ）1、数量函数的导数设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数。

定义3我们将列向量 1n f x f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦叫做数量函数f 对列向量X 的导数，记作1n f x dff f d f x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥= ∇⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦grad X12T n df f f f d x x x ⎡⎤∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎣⎦X例2．求函数22212 ()T nf x x x =+++ X X X = 对X 的导数 解：根据定义1112222n n n f x x x df d f x x x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥= = = =⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦X X 即 ()2T d d =X X X X ………（1－7）2、向量函数的导数设函数 1()()()m a a ⎡⎤⎢⎥= ⎢⎥⎢⎥⎣⎦X a X X ， 12()T n x ,x ,,x =X定义4 n ×m 阶矩阵函数1111()()()()()m T j i nmm n n a a x x a d x d a a x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥∂⎡⎤ ==⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦X X a X X X X ………（1－8） 称之为m 维向量函数T ()a X 对n 维列向量X 的导数。

m ×n 阶矩阵函数1111()()()()()m n i Tj m nm n a a x x a d x d a a x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎡⎤∂⎢ ⎥==⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦X X a X X X X ………（1－9） 称之为m 维向量函数()a X 对n 维横向量X T 的导数。

从定义可看出 ()()T T d d d d ≠a X a X X X ()()TT T d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X……（1－10）若()a X 和()b X 是m 维列向量函数，()λX 是数量函数，X 是m 维列向量，有以下3个运算公式[()()]()()T T T T d d d d d d ±=±a X b X a X b X X X X加法运算公式……（1－11）[()()]()()()()T T T d d d d d d λλλ=⋅+⋅X a X X a X a X X X X X 数乘运算公式……（1－12）[()()]()()()()T T T d d d d d d ⋅=⋅+⋅a X b X a X b X b X a X X X X乘法运算公式……（1－13）证明最后一个公式，前两个公式请同学们根据定义去证明。

证：为简明起见隐去X111()[()()]()()T T T T T T T i i i T T T n n n x x x d d x x x x x x ⎛⎫∂∂⎛⎫∂⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂ ⎪⋅==⋅+⋅⎪∂∂∂ ⎪⎪⎪∂∂∂ ⎪⋅+⋅ ⎪ ∂∂∂⎝⎭⎝⎭a b b a a b a b a X b X a b b a X a b a b b a11()()()()T T TT T T ii TT nn x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⋅+⋅⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂ ⎪ =⋅+⋅=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪⋅+⋅ ⎪∂∂⎝⎭a a b b aa a X a Xb b b X b X X Xa ab b 证毕例3： 求 ??TTd d d d = =X X XX其中X 为n 维列向量 解：根据定义411()()()n m x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥= = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a X a X a X 11111111()()1()()()n n Tn nn n n n a a x x x x x x d d a a x x x x x x ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤ 0 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 1 0⎢⎥= = ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 0 1⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦X X a X I X X X即Td d =XI X……（1－14） 同理 Td d =X I X注意：移乘作除要加转置 ……（1－15） 例4：求()T dd X A XX —— n 维列向量，A —— n ×m 维常数阵 解：设[]12m = A a a a ，i a =T 12[]i i ni a ,a ,,a 为n ×1列向量因此 12T T T Tm ⎡⎤= ⎣⎦X A X a X a X a根据定义()()()()12T T T T m d d d d d d d d ⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦X A X a X a X a X X X X 其中每一个列向量()T T Ti i i i d d d d d d =⋅+⋅a X X a a X =a XX X因此有()[]12T m dd = =X A a a a A X……（1－16）推论：若A 为n ×n 方阵，有 ()T dd =T T X A A X……（1－17） 例5：求()Tdd BX X X —— n 维列向量， B —— m ×n 矩阵 解：设 12m T T T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ b b B =b 则 12m T T T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦b X b X BX =b X类似可得：()Tdd BX =B X ……（1－18）例6：求二次型T X AX 对X 的导数，A 为对称方阵 解：根据乘法运算公式（1－13）()()()()()2TT TT T T T d d d d d d d d =+⋅A X X X A X A X X X X XX A =A X +X =A X +A X X=A+A X =A X即()2T dd X A X =A XX……（1－19） 根据（1－10）式 ()()TTT d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X →→ ()()TT T d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a X a X X X （两边同取转置） 有 ()()[2]TT TTTT d d d d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X A X =X A X A X =2X AX X例7：求函数T AX λ对X 的导数， 其中T λ—— 1×n 行向量，A —— n ×n 常数阵，X —— n 维列向量解：()()()TTTT T TT T T d d d d ==AX =AX X A AX =X A A X Xλλλλλλ 因为T AX λ是标量，所以它与它的转置相等例8：求方程AX =b 的最小范数的平方解，其中A 是m ×n 阶常数矩阵，其秩为m(m<n), b 为m ×1常数列向量。