函数的微分和逆矩阵求法数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）一、1.一元函数的高阶微分定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果其增量可表示为()y A x o x ∆=∆-∆，其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即0|x x dy A x ==∆。

可证 A=0'()f x 即00|'()x x dy f x dx ==。

定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()2()2!B y A x x o x ∆=∆+∆-∆，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2()B x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2,dy d y ，即0|x x dy A x ==∆，022|()x x d y B x ==∆。

可证00'(),''()A f x B f x ==即00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =。

根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果其增量可表示为()()()2212!!nnn A A y A x x x o x n ∆=∆+∆++∆-∆ ，其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称22232222tan (tan )'tan (cos )'sec tan 3cos sin dy tdx t d y dx td xa t tdx td xa t t=--=--=--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶微分，记作2,dy d y ，……，n d y 即002212|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()nnx x n d y A x ==∆。

又根据函数()f x 在0x x =点的泰勒公式()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x f x f x f x x x x x x x o xn =+-+-++-+ ，得()()()()02000000''()()()'()()()2!!n nnfx f x y f x f x f x x x x x x x o xn ∆=-=-+-++-+∆即()()1020',''A f x A f x ==，……，()()0n n A fx =所以00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =，……，()()()00|n n n x x dy fx dx ==。

注：1．在泰勒公式中0x x -与x ∆是等价的。

2．因为()no x ∆是()n x ∆的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个()no x ∆都不会影响到的精确度。

2、微分的运算法则1．()()()()d f x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦；2．()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x ∙=+⎡⎤⎣⎦；3．()()()()()()()2f xg x df x f x dg x d g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦()()0g x ≠； 4．复合函数的微分()()()()()()''''dy dy du f g x g x dxdudxdy f g x g x dx=∙=∴=3、参数方程的微分在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。

解参数方程{()(),x t y t ϕψ==的二阶微分。

解：因为，()()'''t dy y dxt ψϕ==，所以，'dy y dx = ()1()()''t dx t ψϕ=，22(')'''()d y d y dx y dx y d dx ==+ ()2()()()()()223'''''''()(')'()t t t t t dx d x x t ψϕψϕψϕϕ-=+。

利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理：设F 是一数域，对于n n A F ⨯∈，如果存在n n B F ⨯∈，使得A B B A =，则A 可逆且1AB -=。

证明 由逆矩阵的定义可得利用伴随矩阵求逆矩阵引理：设n n A F ⨯∈，若det()0A ≠,那么()11*.det AA A -=例： 设5218A ⎛⎫=⎪-⎝⎭求A 的逆矩阵． 解 因为()d e t 420A =≠，所以A 是可逆的，又*8215A -⎛⎫=⎪⎝⎭，由()1*1.det A A A -=可得1412121154242A-⎛⎫-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭利用分块矩阵求逆矩阵引理 1 如果方阵A 、D 可逆，那么分块矩阵1AO T OD ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为1111.A O T OD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2 如果方阵B 、C 可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.O CT BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理3 如果r 方阵A 和s 阶方阵B 都是可逆，且r s n +=，那么n 阶方阵AC P OB ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为11111.A A C BPOB-----⎛⎫-= ⎪⎝⎭例 求矩阵2 -1 31 -23-3 2 -19 140 0 3 -4 0 0 -2 3 A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵． 解 将矩阵A 进行分块得1A B A OC ⎛⎫=⎪⎝⎭其中121312334,,.32191423A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()()d e t 10,de t 10,AC =≠=≠所以矩阵1A 、C 都是可逆的，且1112134,.3223A C --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有111213123346576.321914238397A B C -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么矩阵A 可逆，且1111112 1 -65 -763 2 -83 -97. 0 0 34 0 0 2 3 A A BC A OC ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭利用初等变换求逆矩阵引理4在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵1A -引理5如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A 化为单位矩阵I ，且设用其中的行变换将单位矩阵I 化成C ，用其中的列变换将单位矩阵化成B ，那么1.ABC -=例 设001110,101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A -解 ()0 0 1|1 0 01 0 1|00 11 0 1|0 0 1,1 1 0|0 1 01 1 0|0 1 0 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是，1-1 0 1 1 1 -1. 1 0 0A-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵多项式的逆的方法引理 设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，[]()g x P x ∈，且()0.f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1;f x g x =此时有()()[],u x v x Px ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=且1())().g A v A -=例 已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求1().A E -+证明 令2(),()1,f x x x g x x =-=+由于((),())1f x g x =且()0f A =，故()g A A E =+可逆，又因1*()(2)()2,f x x g x +-=故()(2)2,g A E A E -=从而11().2g A E A -=-参考文献：1 陈传璋 金福临 朱学炎.数学分析（上册）.高等教育出版社，1983，72 吴良森 毛羽辉 韩士安.数学分析学习指导书.高等教育出版社，2004,83 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005，54 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4．5 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2．。