i =1 T →0 i =1 n n
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
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三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
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思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
定理9.1 若函数 f 在[a, b]上连续，且存在原函数 F ( x),即 F ′( x) = f ( x), x ∈ [a, b], 则 f 在[a, b]上可积，且：
i =1 n
(1)
由此可见，只要通过上、下和当 T → 0 时的极限就揭示f 在[a, b]上是否 可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。 （有关上、下和性质的详细讨论参见课本P 231— 236）
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定理 9.3 (可积准则）函数f 在[a, b]上可积的充分条件是：任给ε > 0， 总 相应的一个分割T，使得：（T） s (T ) < ε . S 设 i = M i mi , 称为 f 在 i 上的振幅，这样 S T） s (T ) （ = ∑ i xi ,因此可积准则改写为：
例2 、 用定积分的定义求极限 1 1 1 + +L + lim n→ ∞ n + 1 n+2 2n 解
3
§3 可积条件 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的 的主要问题。 一、可积的必要条件
定理9.2 若函数 f 在[ a, b]上可积，则 f 在[ a, b]上一定有界。 证 定理指出，任何可积函 数一定是有界的，但要 注意，有界函数却不一 定可积。如： 狄利克雷函数 1 ， x ∈ Q D（x） = , 在[0，]上有界，但不可积。 1 0, x ∈ R Q 由此可见，有界是函数 可积的必要条件，但不 充分。 二、 可积的充分条件 以下讨论函数的可积性 时，总是假设函数是有 界的。
n
i
, s (T ) =
∑m
i =1
n
i
分 别 称 为 f 关 于 分 割 T的 上 和 与 下 和 （ 或 称 为 达 布 上 和 与 达 布 下和，统称为达布和）
由达布和定义可知，达布和未必是积分和 .但达布 和由分法 唯一确定. 则显然有：
s(T ) ≤ ∑ f (ξi )xi ≤ S (T )
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例1、 利用牛顿 — 莱布尼茨公式求下列定 积分 1 ）、∫ x dx ( n ∈ N + ),
n a b
1 2)、 ∫ e dx, 3)、 ∫ 2 dx （0 < a < b). a a x
x 2
b
b
4)、 ∫ sin xdx,
0
π
5)、 ∫ x 4 x 2 dx
0
利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列 通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分 割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。
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定理9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积 性。 思考题： 1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积 ？ 2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积 ？ 3、闭区间上的单调函数是否必可积 ？
例2
证明： f (x)在[0，上可积。 1]
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例3 证明黎曼函数 p 1 , x = , p、 q互质， q > p , q f ( x) = q 0, x = 0, 1 以及（0， 1）内的无理数， 在[0,1]上可积，且： f ( x ) dx = 0 ∫
a
b
2、 定理的条件还可适当减弱，如： 1 ）、对F的要求可减弱为：在 a, b]上连续，在（a, b）内可导，且： [ F ′( x) = f ( x). 不影响定理的证明。 2）、对 f 的要求可减弱为：在 a, b]上可积（不一定连续），这时 [ 公式仍成立。 3）、若定理中的F与 f 同时减弱为：在[a, b]上可积，F在[a, b]上连 f 续，且除有限个点外有F ′( x) = f ( x), 则公式仍成立。 4）、在学习连续函数必存在原函数的定理后，定理中对F的假设 便是多余的条件。
i =1 n
定理 9.3' 函数f 在[a, b]上可积 任给ε > 0，总 相应的一个分 割T，使得： i xi < ε . ∑
i= i =1 n
由定理可知，讨论有界函数在[a, b]上的可积性，只依赖于S (T )与s(T )， 而与复杂的∑ f (ξ i
0 1
（先画出f(x)的图形，结合直观的图形给出证明的思路， 再作证明。）
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设 T = { i i = 1, 2,L , n}为对[ a, b]的任一分割，由f 在[ a, b]上有界，它在 每一个 i 上存在上、下确界： M i = sup f ( x ), mi = inf f ( x), i = 1, 2,L , n.
x∈ i x∈ i
5
作和 S (T ) =
∑M
i =1