i 1
n
F (i )xi f (i )xi 其中i ( xi 1 , xi ) .
i 1 i 1
n
n
于是对任意的 i [ xi 1 , xi ] ,
f ( i )Δxi ( F (b) F (a ))
i 1
n

f ( i )Δxi f (i )Δxi
n

2018年8月8日5时53分
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2 2 2 4c) lim( ) n n 1 1 1 n n 2 n 解答参考孙涛《数学分 析经典习题解析 p74例43)
2018年8月8日5时53分
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2) 对f 的要求可减弱为：在 [a, b] 上可积（不一定连 续）． 注3 在§5 要证明连续函数必有原函数，那时定理 的条件中对F 的要求便是多余的了．
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例1
计算下列积分
n
n 1 (1 ) n
2 2 2 4c) lim( ) n n 1 1 1 n n 2 n (四川大学01、一（） 1 10分; 西南大学06三（） 1 10分）
1 n
2 n
n n
2018年8月8日5时53分
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类例： k 4d ) lim 3 n 2 k 2 (北京理工 01 、二、 10分） n k 1 n k cos n n (四川大学 00一（2 4e) lim sin ）、 10分） n k n k 1 2 sin n
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定理 9.1 设函数 f 在 [a, b] 上连续，且
F ( x ) f ( x ) , x [a, b] ,
则f 在 [a, b] 上可积，且

证
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
由定积分的定义，要证： 对任给的 > 0，
存在 > 0，使得当|| T || < 时有
2
3 2
2 0
2 8 1 2 (4 x ) . 3 0 3
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例2 利用定积分求极限 1 1 1 lim( ) (西南大学01二（2）分， 6 n n 1 n2 2n 中科院05三10分；浙大06一（2） 10分。华上p 208例2） 解 因为 n n 1 1 1 1 1 1 , i n1 n 2 2 n i 1 n i i 1 1 n n
2
因为
1 2
3 1 (4 x 2 ) 2 C . 3
所以

2 0
2 8 1 2 x 4 x dx (4 x ) . 3 0 3
2 3 2
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2 0
x 4 x 2 dx .
1 2 2 2 x 4 x dx 4 x d( 4 x ) 2 0

解
b a
x n dx
( n 0) ;
n1 b
a
b
x 1 x dx (b n1 a n1 ). n 1a n 1
n
b a

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e dx e
x
x
b a
eb ea .
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2 0
x 4 x 2 dx .
1 2 2 x 4 x d x 4 x d( x ) 2 3 1 2 4 x 2 d(4 - x 2 ) (4 x 2 ) 2 C 2 3
所以
n 1 1 1 1 1 lim ( ) lim i n n 1 n n 2 2n i 1 1 n n
1
1 1 dx ln( 1 x ) | 0 0 1 x
2018年8月8日5时53分
l n2 .
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1 2 类例： 4a) 华上，p 209 # 2， 4b) lim (1 )(1 ) n n n
| f ( i )xi [ F (b) F (a )] | .
i 1
2018年8月8日5时53分
n
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对 [a, b] 的任一分割 T = { a = x0, x1, …, xn = b }
F (b) F (a ) [ F ( xi ) F ( xi 1 )]
i 1 i 1
n
n
| [ f ( i ) f ( i )]xi | ,
i 1
n
2018年8月8日5时53分
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f ( i )Δxi ( F (b) F (a ))
i 1
n
| [ f ( i ) f ( i )]xi | ,
i 1
n
因 f 在 [a, b] 上连续，从而一致连续，所以对任意
> 0，存在 > 0， 当 x, x [a , b], | x x | 时,
| f ( x) f ( x) | .
当|| T || < 时有
n n i 1 i 1
| f ( i )xi ( F (b) ( F (a )) | | f ( i ) f (i ) | xi , xi xi (b a ) .
2018年8月8日5时53分
n
n
i 1
i 1
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因此

b
a
f ( x )dx F (b) F (a ) .
注1 在应用牛顿—莱布尼茨公式时，F ( x ) 可由
求不定积分的方法求得．
注2 定理的条件可适当减弱，例如： 1) 对F 的要求可减弱为：在 [a, b] 上连续， 在 (a, b) 可导，且 F ( x ) f ( x ) , x (a, b)