3
22
例4. 计算例5. 计算
例6. 计算正弦曲线 的面积 .
y y sin x
o
x
例 见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分 2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
1. 变上限的定积分
x
f (t )dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 a
x
a f (t )dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，
如 图 中 阴 影 部 当分x 在所区示间 [a的, b]面上变积化时. ,
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
(1)
1 0
1
1
1 0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，
那么
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F (b) F (a) 记 作 F ( x) b , 这样 上面公式就写成如下形式： a
b f (x)dx F (x) b F (b) F (a).
1 x8
变上限的积分求导：
d u(x)
(1) dx a
f (t) d t
f
[u(x)]u(x)
f [u(x)]u(x)
(3) d
dx
u2 (x) f (t) d t
u1 ( x)
f [u1(x)]u1(x) f [u2(x)]u2 (x)
例 见书
2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
定理 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，
阴影部分的曲边梯形面积也随之变化， 所以变上限定积分
y A
B y = f (x) C
F(x)
x
a f (t )dt
Oa
x
bx
是上限变量 x 的函数.
记作 (x) 即
则(x)
x
f (t) d t
a
变上限的积分
x
(x) a f (t) d t
积分上限函数求导定理
有下列重要性质:
定理1
若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，
则变上限定积分 在区间 [a, b] 上可导，
x
(x) a f (t) d t
并且它的导数等于被积函数，
即
(x) f (x)
或 d
x
f (t) d t f (x)
dx a
定理2 (原函数存在定理）
如果f (x)在闭区间[a, b]上连续
y
则(x)
x
f (t) d t
a
y f (x)
( x)
是 f (x)在[a, b]上的一个原函数. O a x
bx
例 1 (1) 解
已知 (x) x et2 dt, 求 (x).
(x)
1
x et2 dt
ex2 .
1
(2) 求
d x2 1 dt
dx 1 1 t 4
解 d x2 1 dt
1
(x2 )' 2x
dx 1 1 t4
1 (x2)4
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式