|
x
|,
1 1
x
2
dx x
ln | x | 12 ln1 ln 2 ln 2.
例5
求
3
2 x dx
1
2
3
解 原式= 2 x dx 2 x dx
1
2
2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
2
[2 9
x
1
1 2
x2 ]21
[1 2
x2
2 x]32
5
22
8
小结
1.积分上限函数
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
;
4. 2 sin x dx . 0
10
练习题解答
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
2 x2dx
1
21 1 x2dx
[1 3
x3 ]12
[
1 x
]12
25 6
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 d (1 e x ) 1 1 e x
[ln(1 e x )]11
1
1
5.2.1 积分上限函数
1. 积分上限函数的概念
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
数( x)
x
a
f
(t)dt 就是
f
( x) 在[a,b]上的一个
原函数.
3
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
例1 设( x) x tet2dt,求( x) 0
解 利用定理1得 ( x) xe x2
4
5.2.2 牛顿—莱布尼茨公式 定理3（微积分基本公式）
12
记
( x)
x
a
f
(t )dt .
积分上限函数
2
2.积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
6
例2 求 1 x2dx 0
解
原式
1 3
x
3
1 0
1 3例3ຫໍສະໝຸດ 求1 11
1 x
2
dx
解 原式 [arctan x]11
arctan1 arctan(1)
2
7
例4 解
求
1 1 dx.
当
x
2
x 0时，
1
的一个原函数是ln
x
( x) a f (t)dt
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积
分学之间的关系．
9
课堂练习：
计算下列各定积分：
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
;
3. 0 3x 4 3x 2 1 dx;
1 x 2 1
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a).
牛顿—莱布尼茨公式：
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
F
(
x)ba
5
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.因
此 求定积分问题转化为求原函数的问题.
11
0 3x4 3x3 1
3. 1
x2 1
dx
0 (3x2
1
1 x2
)dx 1
3
0 x2dx
1
01
1
x2
dx 1
[ x3 ]01
[arctan x]01
1
4
2
2
4.0 sin x dx 0 sin x dx sin x dx
2
0 sin xdx sin xdx
[ cos x]0 [ cos x]2 4
5.2 微积分的基本公式
根据定积分定义计算定积分即按分割-求近似值累加-取极限的方法计算定积分不是一件容易的事 。事实上，除了一些特殊情形外，这种方法往往无 法计算。为此必须寻求简单的计算方法。从不定积 分和定积分的定义发现，不定积分是作为微分的逆 运算定义的，定积分是作为积分和定义的，从表面 上看，它们是毫不相干的，那么它们实质上之间是 否就没有联系？人们在经过长期探索，最终了揭示 他们之间的内在联系，即积分计算的有力工具即著 名的微分基本定理—牛顿－莱布尼茨公式。