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an＋1＝an
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想一想：如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？
提示 数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性
an≥an＋1， an 应满足 an≥an－1
加以解决，若求最大项 an，则
an≤an＋1， an 应满足 an≤an－1.
若求最小
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2．数列的单调性 名 称 定 义 表达式
大于 从第二项起，每一项都_____它前 递增数列 面的一项
an＋1>an an＋1<an
小于 从第二项起，每一项都_____它前 递减数列 面的一项 常数列
摆动数列 相等 各项都_____ 从第2项起，有些项大于它的前1 项，有些项小于它的前1项的数列
【题后反思】 已知数列的通项公式求数列的最大(小)项， 其实质是求函数的最大(小)值，但要注意函数的定义域， 本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此 求解最大项．
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2 2n－2 2 n－1 数列{an} 【训练3】若数列{an}的通项公式 an＝5×5 －4×5 ，
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规律方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来 表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐 标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的 定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})， 所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限 的，也可以是无限的．
误区警示
混淆函数与数列的单调性而致错
【示例】 已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实 数λ的最小值是________． [错解] ∵an≤an＋1，∴{an}单增，又an为n的二次式，
λ ∴－ ≤1，解之 λ≥－2，∴填－2. 2
二次函数的相关知识迁移到数列方面时，要注意定 义域发生了变化，类似的还有：an＝3n2－4n＋5(n∈N＋ )，当 n 4 ＝ 时 an 取最小值，这种错解忽视了 n∈N＋ .应为 n＝1 时，an 最 3 小．
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1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11 法二 令 an ≥1(n≥2)， an －1
10 n n＋1 n＋1 11 11 即 ≥1，整理得 ≥ .(4 10 n－1 n 10 n· 11
分)
解得 n≤10，n＝10 时取等号．(6 分)
－7 －12 －15 －16 －15 －12 －7
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描点：在平面直角坐标系中描出下列 各点即得数列{an}的图像： (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)， (4，－16)，(5，－15)，(6，－12)， (7，－7)，(8,0)，(9,9)，… 图像如图所示． (2)数列{an}的图像既不是上升的，也 不是下降的，则{an}既不是递增的， 也不是递减的．
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[正解一] an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)， n∈N＋⇔λ≥－3.
[正解二] ∵an≤an＋ 1，∴{an}不减， 又 an 为 n 的二次式，并注意到 a1≤a2， λ 3 ∴－ ≤ ，解之，得 λ≥－3，∴填－3. 2 2
答案
n 1 为递增数列． 1＋ 2 >1，∴an＋ 1>an，∴数列 3n＋1 3n ＋4n
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法三
x 令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1
1 13x＋1－1 1 f(x)＝ ＝ 1－ ， 3 3x＋1 3 3x＋1 ∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
n＋13n＋1－n3n＋4 1 ＝ ＝ ， 3n＋43n＋1 3n＋43n＋1
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∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋ 1>an，
n 为递增数列． ∴数列 3n＋1
法二
∵n∈N＋，∴an>0.
n＋1 an＋1 3n＋4 n＋13n＋1 3n2＋4n＋1 ∵ ＝ ＝ ＝ ＝ 2 an n 3n＋4n 3n ＋4n 3n＋1
1.2 数列的函数特性
【课标要求】 理解数列的函数特性． 1． 2． 掌握三种特殊数列．
【核心扫描】 会根据数列的分类判断数列的单调性．(重点) 1． 会用函数的相关知识解决数列的最大(小)项等问题．(难点) 2．
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自学导引
数列与函数 1． 正整数集N＋(或它的有限子 数列可以看作是一个定义域为_________________________ 集{1,2,3，…，n}) ________________的函数，当自变量从小到大依次取值 时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
(2)数列与函数： 推广，自变量任意化 数列 函数 自变量特殊化，定义域N＋或{1，2，3，…，n}.
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即数列是一种特殊的函数． (3)任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像 是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的． 2．数列单调性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an>0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an<0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
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(2)作商比较法 ①若 an>0，则 an＋1 当 >1 时，数列{an}是递增数列； an
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an＋1 当 <1 时，数列{an}是递减数列； an ②若 an<0，则 an＋1 当 <1 时，数列{an}是递增数列； an an＋1 当 >1 时，数列{an}是递减数列． an an＋1 ③若 an≠0，当 ＝1 时，数列{an}是常数列． an
10 n n＋1 n＋1 10 an 11 令 ≥1，即 ≥1，整理得 ≥ .(8 10 n＋1 an＋1 n＋2 11 n＋2 11
分)
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解得n≥9，n＝9时取等号．(10分) ∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． ∴数列{an}有最大项，最大项为第9、10项， 1010 即 a9＝a10＝ 9 .(12 分) 11
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[规范解答] 法一
∵an＋1－an＝ 分)
10 n＋1 10 n 10 n 9－n (n＋2) －(n＋1) ＝ · (4 11 11 11 11
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分) 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分) 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，(10分) 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
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题型二
【例2】
判断数列的增减性
n 的增减性． 判断数列 3n＋1
[思路探索] 由题目可获取以下主要信息：已知数列的 通项公式，作出数列增减性的判断．解答本题可用定义 求解，也可用函数知识求解．
n＋1 n＋1 n 解 ∵an＝ ，∴an＋1＝ ＝ . 3n＋1 3n＋1＋1 3n＋4 法一 n＋1 n an＋1－an＝ － 3n＋4 3n＋1
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【训练1】 画出下列数列的图像，并判断数列的增减性． (1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5. 解 (1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示．由图像知 它是递增数列．
(2)由通项公式an＝－2n＋5，写出数列的前5项3,1，－1， －3，－5，描点可得数列{an}的图像如图(2)所示．由图像 知它是递减数列．
(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过判断 函数的单调性来确定数列的单调性．
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题型一
数列的图像
【例1】在数列{an}中，an＝n2－8n， (1)画出{an}的图像； (2)根据图像写出数列{an}的增减性． [思路探索] (1)当n∈N＋时，分别在平面直角坐标系中描出 点(n，an)即可．(2)图像的上升或下降显示数列的增减性． 解 (1)列表 n an 1 2 3 4 5 6 7 8 0 9 9 … …
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解
(1)对任意 n∈N＋，
1 1 ∵an＋1－an＝ － n＋12＋5n＋1＋4 n2＋5n＋4 －2n＋3 ＝ <0， [n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4 ∴数列{an}是递减数列． 1 (2)令 an<0，即 2 <0， n ＋5n＋4 ∴n2＋5n＋4<0⇒(n＋4)(n＋1)<0⇒－4<n<－1. 而 n∈N＋，故数列{an}没有负数项．
－3
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函数的单调性与数列的单调性既有联系又有 区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反 之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因 在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集 {1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判 断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an， 则数列为递增数列，若an＋1<an，则数列为递减数列．
项 an，则
另外一种方法就是将数列看作
一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题， 但此时应注意 n∈N＋这一条件．