第2课时数列的函数特性
1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.
2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项.
3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数.
问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列.
问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为.
问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列.
问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质
若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= .
1.下面四个结论:
①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;
②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;
③数列的项数是无限的;
④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是().
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①②③④
2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是().
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表
4.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.
(1)写出a3,a4;
(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?
考查数列的函数特性
对于数列{a n},a1=4,a n+1
(1)求a2,a3,a4;
(2)求a2015.
已知S n求a n
已知数列的前n项和S n的表达式,分别求{a n}的通项公式.
(1)S n=2n2-3n;
(2)S n=3n-2.
数列中的最值问题
设a n=-n2+10n+11(n∈N+),则数列{a n}从首项起到第几项的和最大?
给定函数y=f(x),并且对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像可能是().
已知数列{a n}的前n项和S n=3n-2n2 (n∈N+).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)当n≥2时,比较S n,na1,na n的大小.
已知数列{a n}的通项公式a n=(n+1)()n(n∈N+),试问数列{a n}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.
1.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是().
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不能确定
2.已知数列{a n}的图像在函数y=的图像上,当x取正整数时,则其通项公式为().
A.a n=(x∈R)
B.a n=(n∈N+)
C.a n=(x∈N)
D.a n=(n∈N)
3.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,a n+1=S n+1,n∈N+,则a6= .
4.已知数列{a n}中,a n=(n∈N+),求数列{a n}的最大项.
(2013年·陕西卷)观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为.
考题变式(我来改编):
第2课时数列的函数特性
知识体系梳理
问题1:正整数集N+函数值
问题2:递推公式a n=f(a n-1)(n≥2)
问题3:第2项a n+1>a n第2项a n+1<a n都相等
问题4:
基础学习交流
1.A由数列的概念及数列的函数特性知,①②正确,故应选A.
2.B由a n=3n2-28n知通项公式是一个二次函数,对称轴是-=-==4,5离4最近,∴最小
项是第5项.
3.14085观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85.
4.解:(1)a3=13,a4=29.
(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,
∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.
(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.
【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.
探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-5,
由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.
(2)a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,
由于a1不适合此等式,
所以a n=
【小结】利用a n=S n-S n-1(n≥2)来求a n的方法也可以叫作公式法.
探究三:【解析】a n=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
∴当n=5时a n最大,∴从首项起到第5项的和最大.
[问题]a n最大是从首项起到第n项的和S n最大吗?
[结论]由于审题不清,错把-n2+10n+11当成S n,从而利用二次函数知识得到:n=5时,取最大值显然不合题意.
于是,正确解答为:由a n=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
即a1,a2,…,a10>0,a11=0,当n≥12时,a n<0.
∴从首项起到第10项或第11项的和最大.
【小结】这是一道易错题,审题要清楚,深刻理解通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数.思维拓展应用
应用一:A由⇒f(a n)>a n,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一
点,(a n,f(a n))都有纵坐标f(a n)大于横坐标a n,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.
应用二:(1)由a n=
解得a n=5-4n.
(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,
∴na n=5n-4n2,
∴na1-S n=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.
又∵S n-na n=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,
∴na1>S n>na n.
应用三:(法一:作差法)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n,
当n<9时,a n+1-a n>0,a n+1>a n;
当n=9时,a n+1-a n=0,a n+1=a n;
当n>9时,a n+1-a n<0,a n+1<a n.
故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…
∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.
(法二:作商法)∵==,
当n<9时,10n+20>11n+11,>1,即a n+1>a n;
当n=9时,10n+20=11n+11,=1,即a n+1=a n;
当n>9时,10n+20<11n+11,<1,即a n+1<a n.
故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…
∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.
(法三:两边夹)假设a n为最大项,则
即解得
∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10项最大.
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1.A∵a n+1=a n+3,∴数列{a n}是递增数列.
2.B数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=(n∈N+).
3.48当n≥2时,a n+1=S n+1,a n=S n-1+1,两式相减,得a n+1-a n=S n-S n-1=a n,即a n+1=2a n,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.
4.解:考察函数y==1+,因为直线x=1
5.6为函数图像的渐近线,且函数在(-∞,15.6)
上单调递减,在(15.6,+∞)上单调递减,所以当n=16时,a n最大,即第16项最大.
全新视角拓展
(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
根据等式两边的规律可知: 第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).
思维导图构建
a n=。