数列的概念及函数特征测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.数列1,1,1,1,1--，的通项公式的是 。

1. 1(1)n n a +=- 或{11n n a n =-，为奇数，为偶数。

提示：写成两种形式都对，a n 不能省掉。

2. ,52,21,32,1的一个通项公式是 。

2. 2;1n a n =+提示：若把12换成24，同时首项1换成22，规律就明显了。

其一个通项应该为：2;1n a n =+3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）883.140,85。

提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。

4．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 项.4.10.提示：令1(2)n a n n =+=1120，即n 2+2n-120=0,解得n=10.5.已知数列{a n }的图像是函数1y x=图像上，当x 取正整数时的点列，则其通项公式为 。

5. a n =1n .提示：数列{a n }对应的点列为(n,a n ),即有a n =1n。

6.已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 。

6.2或3项。

提示：22103n a n n =-+=2（n-52）2-192.故当n=2或3时，a n 最小。

7. 已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a = .7. 25-。

提示：222212a ⨯-=++（）=23，322326213a ⨯=+=-，12622165n a +⨯=+=--。

8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(1)()f n f n +-= ．（答案用n 的解析式表示）8.n ×22.提示：f(2)-f(1)=4=1×4, f(3)-f(2)=8=2×4, f(4)-f(3)=3×4,……，猜想(1)()f n f n +-=4n.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.9. 解 ∵13a =,121n n a a +=+,∴27a =,315a =,431a =,563a =,注意到：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，∴猜得121n n a +=-。

10.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ①求{}n a 的通项公式，并求2005a ； ②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.10.解:设n a kn b =+,则31021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得21k b =⎧⎨=⎩,∴21()n a n n N *=+∈,∴20054011a =.又∵2a ,4a ,6a ,8a ,即为5,9,13,17,…,∴41n b n =+.11.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。

已知等和数列{}n a 的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式a n 。

11.解：∵{}n a 是等和数列，公和为7，a 1=2，∴a 2=5,a 3=2,a 4=5,……， 一般地，a 2n-1=2，a 2n =5，n ∈N *.∴通项公式a n =25n n ⎧⎨⎩，为正奇数，，为正偶数。

12. 已知不等式11n ++12n ++13n ++ (12)>a 对于一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。

解 令f （n ）=11n ++12n ++13n ++……+12n， 则f （n+1）-f （n ）=121n ++122n +-11n +=121n +-122n +>0.∴ f （n+1）>f （n ）, ∴ f （n ）是递增数列，∴ [f （n ）]min = f （2）=712。

∴a<712. 备选题：1. 若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，……，写出它的一 个通项公式是 。

1.23×（10n -1）。

提示：注意到66n …6＝69×99n …9，故66n…6＝23×（10n-1）。

2.设数列2,5,22,11,,则25是这个数列的第 项。

2.7.提示：由题设知2,5,8,11,,的通项为3n 1-，25=20371=⨯-。

3.已知数列{}n a ，11a =，112nn na a a +=+(*n N ∈)，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式. 3.解：∵11a =，112n n n a a a +=+，∴a 2=111213=+⨯.同理求得a 3=15，a 4=17.从而猜想a n =121n -. B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 数列 ,17164,1093,542,211的一个通项公式是 。

1.22.1n n a n n =++提示：观察和对应项数的关系，不难发现 111122=+，22442222,5521=+=++22993333,101031=+=++…，一般地，22.1n n a n n =++2. 数列,54,43,32,21--的一个通项公式是 。

2. 1)1(1+⋅-=+n n a n n 。

提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n 或（-1）n+1调节，二是分式，分子是n ，分母n+1。

故1)1(1+⋅-=+n n a n n .3.将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26 则2006在第 行，第 列。

3．第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4×250+3,故2006在第251行。

又由奇数行的特点知应该是第4列。

4.已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N +，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是 。

4.3-+∞（，）。

提示：常见的错解：a n 是一个特殊的 二次函数，要保证在n 取自然数时单调递增，只须-2λ≤1， 即λ≥-2。

本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质， 忽略了数列的离散性的特点。

正解 如图，只要-2λ<32,即λ>-3时就适合题意。

5.观察下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，1115123312++++>，，由此猜想第n 个不等式为 ▲ .5. 111123212n n ++++>-。

提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=22，2=42，故猜想：111123212n n ++++>-。

点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。

6.若数列{a n }满足a n+1=,76,)121(12)210(21=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤a a a a a n n n n若则a 20的值是 6．75.提示：1234366553621212777777a a a a a =⇒=⋅-=⇒=⋅-=⇒==。

∴数列{}n a 是周期为3的数列，∴20182257a a a +===.二．解答题(本大题共2小题，共36分)8642-2y510x0127.已知数列{a n }中，a n =()*15.6nn N n ∈-，求数列{a n }的最大项. 解:考察函数15.6115.615.6x y x x ==+--,因为直线15.6x =为函数图象的渐近线,且函数在(),15.6-∞上单调递减，在()15.6,+∞上单调递减，所以当15.6n >且n 最接近15.6且*n N ∈时,n a 最大,故16a 最大,即第16项最大.8.设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为na ，又数列{nb }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ．（1）求证：1+=n a n ；（2）求n b 的表达式；（3）n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.解 （1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴24+-=n x , 所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n 。

（2）解：由1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得1109)109()109()2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1121)109( ，当1=n 时，111==S b 当n ≥2时，21)109(109---=-=n n n n S S b 即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-21)109(10112n n b n n（3）解：由（1）与（2）得=⋅-=n n n b a c ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--21)109(10122n n n n设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立，当2,1=n 时，121201023c c c c >⇒>=-当n ≥2时，1008)109(21nc c n n n -⋅=--+， 所以当8<n 时，n n c c >+1， 当8=n 时，n n c c =+1， 当8>n 时，n n c c <+1所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立． 备选题： 1. 数列19199199919999,,,,10100100010000…的通项公式是 。