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第一章 数列
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1 已知函数 f(x)＝x－x .数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0. (1)求数列{an}的通项公式． (2)判断数列{an}的增减性．
先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用作 差法或作商法判断增减性．
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[解题过程]
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[题后感悟]
(1)对于正项数列的单调性判断除利用作差
an＋1 an＋1－an 来研究外，还可以利用 a 与 1 的大小来判断． n (2)若求一数列中最大项
an≥an＋1 an，只需满足 an≥an－1
求出 n
值，求最小项
an≤an＋1 an，只需满足 an≤an－1
求出 n 值.
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3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中 有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (1)an＝n
2
52 9 －5n＋4＝n－2 － ， 4
当 n＝2,3 时，an＜0. ∴数列中有两项是负数．
10 n＋111n an 令 ≥1，即 ≥1， 10 an＋1 n＋211n＋1
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n＋1 10 整理得 ≥ .解得 n≥9， n＋2 11 当 n＝9 时取等号． 所以从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减． 所以数列{an}有最大项，最大项为第 9、10 项， 1010 即 a9＝a10＝ 9 . 11
1010 且 a9＝a10＝ 119 .
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋， ∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项．
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10 n＋111n an 方法三：令 ≥1(n≥2)，即 10 ≥1， an－1 － n11 n 1
n＋1 11 整理，得 n ≥10，解得 2≤n≤10， 当 n＝10 时取等号．
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1．数列的单调性
(1) 单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为
由n∈N＋，得an＋1－an＞0，即an＋1＞an， ∴数列{an}是递增数列．
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已知数列{an}的通项公式为
10 an＝(n＋1)11n(n∈N＋)，试
问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
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[策略点睛]
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cn＋1 cn 解析： an＋1－an＝ － bn＋1＋1 bn＋1 c ＝ ＞0， bn＋b＋1bn＋1 ∴an＋1＞an.
答案： an＋1＞an
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5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1， ∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1 2n＋1 ＝ ＞0. 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 ∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
图像：
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以 是递增数列．
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[题后感悟]
(1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法，
这同函数的表示方法相一致． (2)利用图像可直观判断数列的增减性．
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1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中
画出它的图像，并根据图像指出它的增减性． 解析： 列表
n an 1 －8 2 －14 3 －18 4 －20 5 －20 6 －18 7 －14 8 －8 „ „ k k2－9k „ „
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图像
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，„}
上是递增的．
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[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an 10 ＋ 10 n 1 ＝(n＋2)11 －(n＋1)11 n 10 9－n ＝11n·11 ， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an；
，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
横标 (2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
列表法、图像法、解析法．
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2．数列的函数特性 一个数列{an}，如果从第 第二项 二项 起，每一项都 大于
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n＋1＋n ＝ －1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n. n＋1＋n ∴ ＜1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 ∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
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方法二：(作商法) ∵an＞0， an＋1 n＋12＋1－n＋1 ∴ ＝ an n2＋1－n ＝ [ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1＋n ＝ ＜1 2 n＋1 ＋1＋n＋1 ∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
(2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．
根据递推公式写出前4项，再由这4项寻找规律，归纳出通
项公式．
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[解题过程] (1)由递推关系，得a1＝0＝02，
a2＝a1＋(2×1－1)＝1＝12，
a3＝a2＋(2×2－1)＝4＝22，
a4＝a3＋(2×3－1)＝9＝32. 观察前4项，可归纳出an＝(n－1)2. (2)由递推关系式，得 a1＝3＝31，a2＝3a1＝9＝32， a3＝3a2＝27＝33，a4＝3a3＝81＝34. 观察前4项，可归纳出an＝3n.
1．2 数列的函数特性
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1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
3．掌握判断数列增减性的方法．
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1．判断数列的增减性(重点)
2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点)
3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
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[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法：
(1)作差比较法
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
an＋1 an＋1 an ＞1 an ＜1 递增数列 递减数列 递减数列 递增数列
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把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，„用列表法 表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它 的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
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[解题过程] 列表 n an 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 „ „ k 2k－1 „ „
1 (1)∵f(x)＝x－x ，f(an)＝－2n.
1 ∴an－ ＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， an 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
(2)方法一(作差法)： ∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1 [ n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n2＋1] ＝ －1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1
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1 1 1 1 1．若数列{an}的前 4 项分别为－2，6，－12，20，则其 －1n 一个通项公式为 an＝ . nn＋1 2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1 －an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an. 3． 对于函数 f(x)， 若对于定义域内任意 x1＜x2， 总有 f(x1) ＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
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an＞0 an＜0
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an＋1 an ＝1 常数列 常数列
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n2 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 .求证此数列为 n ＋1 递增数列．
n＋12 n2 证明： ∵an＋1－an＝ － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1] ＝ [n＋12＋1]n2＋1 2n＋1 ＝ . 2 2 [n＋1 ＋1]n ＋1
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4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集
{1,2,3，„，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数
对应的一列函数值就构成一个数列．
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1．数列的表示方法 (1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为