一是作差比较法.
(1)an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}是递增数列. (2)an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}是递减数列. (3)an+1-an=0⇔an+1=an⇔数列{an}是常数列.
二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
a n 1 ＞1 an a 0＜ n 1 ＜ 1 an a n 1 1 an
断数列的单调性.
【规范解答】(1)f( 2 a )＝log2 2 a n -log
n
2
1 2=a － ，所以 an n an
1 a n－ ＝2n⇒ an
－2nan－1＝0， a2 n
所以an＝ n n 2 1 . 因为x∈(0,1)，所以 2 a n ∈(0,1)，所以an<0.
所以an＝n－ n 2 1 .
径.
【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}).
n
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性.
【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系
式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进
行作差，判断与零的大小或者作商判断与 1的大小，从而判
方法二：由于本题数列的通项公式为an= 数 是f(x)=
1 2
1 2 n -8n对应的函 2
x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性
可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；当 n≥8时，数列是递增数列.
数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途
a n＞0 a n＜0
递增数列 递减数列
递减数列 递增数列
常数列 常数列
在利用作商比较法时，要确保数列的每一项 都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较 .
【例1】已知数列{an}的通项公式为an= 1 n 2 -8n，判断数列
2
{an}的单调性.
【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比
n=-5
在利用二次函数的性质进行配方求解数列的 第三问 最值时，忽略了n只能取正整数这一问题， 导致错误，一般地借助函数解决数列问题时， 都需要认真考虑定义域.
n= 1 2
(3)an＝30＋n－n2＝－(n－ 1 ) 2＋121，
2 4
又∵n∈N+， 故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30. ………… 12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见
错误 第二问
错 误 原 因 解出了n的值后，没有考虑n的定义域，直接 下结论导致错误，事实上，解决这类问题需 要特别注意n的取值范围.
较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断.
【规范解答】方法一：根据题意可知 a n 1 n 2 8n， 则 an+1-an= 1 (n+1)2-8(n+1)-( 1 n2-8n)
2 2
n 2
15 由数列的定义域为正整数集可知，当0<n<8时， ， 2
an+1-an<0，数列是递减数列；当n≥8时，an+1-an>0，数列 是递增数列.
(2)方法一：an＋1－an
＝(n＋1)－ n 12 1 (n n 2 1) ＝1－ ( n 12 1 n 2 1)
＝1－
2n 1
n 1
2
1 n2 1
1 －
2n 1 ＝0. n 1 n
所以 a n＋1 a n ，即数列{an}是递增数列. 方法二：∵ a n 1
丰城九中高一数学组
从数列表示的角度理解数列的函数特性
数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子 集{ 1, 2, 3，…, n}) ,值域是当自变量顺次从小到大依次 取值时的对应值.
0000
0000
确定数列的增减性 确定数列的增减性的方法 判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1 与an的大小,常见的比较方法有两种：
an n 1
n 1 1
2
n n2 1
n n2 1 n 1
n 1
2
1
1 ，
又∵an<0，∴an＋1>an， ∴数列{an}是递增数列.
【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)问－60是否为这个数列中的项？ (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0； (3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值. 【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数 列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列 的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和 第三问，结合二次函数进行判断求解.
【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分 ∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0. ∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分 结合数列{an}的图像可知 当n等于1,2,3,4,5时，an>0. 当n>6且n∈N+时，an<0. …………………………………8分
