10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：故原式例4：已知a 、b 、c 为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式=+-++=-++--+=+-++-+-+-+=+-+-+-++=+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 432423222322323241311111311111133311244()()()()()()()()()()()解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

例1、计算：解：原式说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

例2、已知：，则_________。

解：说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。

中考点拨：例1：计算：解一：原式解二：原式说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。

此题两种方法的繁简程度一目了然。

例2：若，则的值等于（）A. B. C. D.解：原式故选A【实战模拟】1. 已知：，则的值等于（）A. B. C. D.2. 已知，求的值。

3. 计算：4. 若，试比较A与B的大小。

5. 已知：，求证：。

【试题答案】1. 解：故选B2. 解：说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。

3. 解：原式说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。

4. 解：设，则5. 证明：，即又均不为零12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得例2. 解方程分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：方程两边通分，得经检验：原方程的根是例3. 解方程：分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：即例4. 解方程：分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：原方程变形为：约分，得方程两边都乘以注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。

因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. B.C. D.分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时由题意，得答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时，关于x的方程会产生增根？解：方程两边都乘以，得整理，得说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A. B. C. D.2. 如果关于x的方程A. B. C. D. 33. 解方程：4. 求x为何值时，代数式的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。

已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？【试题答案】1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。

又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为2. 把方程两边都乘以若方程有增根，则3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。

因此，可利用裂项，即用“互为相反数的和为0”将原方程化简解：原方程可变为（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法解：因为其中的经检验：是原方程的根。

4. 解：由已知得的值等于2。

5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需天。

由题意，得经检验答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。

13、分式总复习【知识精读】【分类解析】1. 分式有意义的应用例1. 若，试判断是否有意义。

分析：要判断是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断与零的关系。

解：即或中至少有一个无意义。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

例2. 计算：分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

解：原式例3. 解方程：分析：因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大。

由于故可得如下解法。

解：原方程变为经检验，是原方程的根。

3. 在代数求值中的应用例4. 已知与互为相反数，求代数式的值。

分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为，，利用非负数及相反w数的性质可求出a、b的值。

解：由已知得，解得原式把代入得：原式4. 用方程解决实际问题例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。

解：设这列火车的速度为x千米/时根据题意，得方程两边都乘以12x，得解得经检验，是原方程的根答：这列火车原来的速度为75千米/时。

5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。

而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明。

解：由，得6、中考原题：例1．已知，则M＝__________。

分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。

解：例2．已知，那么代数式的值是_________。

分析：先化简所求分式，发现把看成整体代入即可求的结果。

解：原式7、题型展示：例1. 当x取何值时，式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？解：由得或所以，当和时，原分式有意义由分子得当时，分母当时，分母，原分式无意义。

所以当时，式子的值为零例2. 求的值，其中。

分析：先化简，再求值。

解：原式【实战模拟】1. 当x取何值时，分式有意义？2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）3. 计算：4. 解方程：5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。

现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。

问规定日期是多少天？6. 已知，求的值。

【试题答案】1. 解：由题意得解得且当且时，原式有意义2. 解：设温度降为t，由已知得：答：温度降为。

3. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。

因此灵活运用法则会给解题带来方便。

同时注意结果要化为最简分式。

解：原式4.解：原方程化为方程两边通分，得化简得解得经检验：是原方程的根。

说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便的方法，减少繁琐计算。

5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1解：设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天。