13、分式总复习【知识精要】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。

如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()005113【分类解析】1. 分式有意义的应用例1. 若ab a b +--=10,试判断1111a b -+，是否有意义。

分析:要判断1111a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11，与零的关系。

解： ab a b +--=10∴+-+=a b b ()()110即()()b a +-=110∴+=b 10或a -=10∴-+1111a b ，中至少有一个无意义。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。

例2． 计算:a a a a a a 2211313+-+--+- 分析：如果先通分,分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算。

解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313=-+-+-=-+--=--+++-=--+-a a a a a a a a a a a a a 1113111331132213()()()()()()()例3． 解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。

由于x x x x x x x x x x 222225556561561156-+-+=-+--+=--+故可得如下解法。

解: x x x x x x 222561561156-+--+=--+ 原方程变为1176115622-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156765602222x x x x x x x x x经检验，x =0是原方程的根。

３. 在代数求值中的应用例４. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b abb a -++-÷+-++的值。

分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、ｂ的值。

解：由已知得a b -=-=3010，,解得a b ==31，原式=+-++-÷+-++[()()()]()42222a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a=---+÷-+-++=---+⋅+-++=-++[()()()]()()()()()()()a b ab a b a b a b ab b ab a b b aa b ab a b a b ab a b a b a b b aa b a b222222221 把a b ==31，代入得：原式=1124. 用方程解决实际问题例5． 一列火车从车站开出,预计行程４5０千米，当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误3０分钟，后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。

解：设这列火车的速度为x 千米/时根据题意，得450312450312x x x=+-. 方程两边都乘以12x,得540042450030=+-x x解得x =75经检验，x =75是原方程的根 答：这列火车原来的速度为7５千米/时。

５． 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。

而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。

例6. 已知x y y =+-2332,试用含x 的代数式表示y,并证明()()323213x y --=。

解:由x y y =+-2332,得3223xy x y -=+ ∴-=+∴-=+∴=+-322332232332xy y x x y x y x x ()()()()()323233226964321332323213x y y y y y y x y -=+--=+-+-=-∴--=6、中考原题:例１.已知M x y xy y x y x y x y 222222-=--+-+，则M=____＿__＿__。

分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M 。

解: 2222xy y x y x y x y --+-+ =-+-+-=-=-222222222222xy y x xy y x y x x y Mx y ∴=M x 2例2.已知x x 2320--=,那么代数式()x x x --+-11132的值是_＿_＿_____。

分析：先化简所求分式，发现把x x 23-看成整体代入即可求的结果。

解:原式=--+=-+--=-()()x x x x x x x 112113222x x x x 2232032--=∴-=∴=-=原式x x 232例３(201３•重庆•Ｂ卷•21)先化简,再求值:,其中x 是不等式考点: 分式的化简求值;一元一次不等式的整数解分析： 首先把分式进行化简,再解出不等式,确定出x 的值，然后再代入化简后的分式即可. 解答:解：原式=[﹣]×, =×=×，=，3x+7>1,3x ＞﹣6,x>﹣２,∵ｘ是不等式3x+7>1的负整数解，∴x=﹣1，把x=﹣1代入中得：＝3．点评: 此题主要考查了分式的化简求值,以及不等式的整数解,关键是正确把分式进行化简． 例4（20１4•重庆•Ａ卷•21)先化简，再求值:÷(﹣）+,其中x 的值为方程2ｘ=5x ﹣1的解.考点:分式的化简求值；解一元一次方程．专题:计算题.分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形,约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，求出方程的解得到x 的值,代入计算即可求出值．解答:解：原式=÷＋=•＋=＋=,解方程2x=5x ﹣1，得：ｘ=，当x=时，原式=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．７、题型展示:例1． 当x 取何值时，式子||x x x -++2322有意义？当x 取什么数时,该式子值为零？ 解：由x x x x 232120++=++=()()得x =-1或-2所以,当x ≠-1和x ≠-2时,原分式有意义由分子||x -=20得x =±2当x =2时，分母x x 2320++≠当x =-2时,分母x x 2320++=,原分式无意义。

所以当x =2时，式子||x x x -++2322的值为零例2. 求x m n x mn x m n x mn x m x n 222222---+--⋅--()()的值，其中x m n ===-2312。

分析:先化简，再求值。

解：原式=-++-⋅+-+-()()()()()()()()x m x n x m x n x m x m x n x n=--()()x m x n 22x m n x m x n m n ===-∴===-=-2312231416，，，∴=--=--原式()()()()x m x n m m n n 222223==-⨯-=m n 2222414416916()()【实战模拟】１. 当x 取何值时，分式2111x x+-有意义?1解：由题意得xx ≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪011解得x ≠0且x ≠1∴当x ≠0且x ≠1时，原式有意义２. 有一根烧红的铁钉,质量是m ，温度是t 0，它放出热量Q 后,温度降为多少？（铁的比热为c)解:设温度降为t ，由已知得:Q mc t t t t Qmc t t Qmc=--==-()000答：温度降为()t Q mc0-。

3. 计算：x y y x y x y y x++-+-242442222 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。

因此灵活运用法则会给解题带来方便。

同时注意结果要化为最简分式。

解：原式=+-+-++-()()()()x y x y y x y x y y x y x 224242222 =--+-=+-+-=-+-=+x x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y2232222242224222222()()()()()()()4. 解方程:x x x x x x x x ++-++=++-++21436587解：原方程化为111113115117++--+=++--+x x x x ∴+-+=+-+11131517x x x x 方程两边通分,得213257()()()()x x x x ++=++ ∴++=++()()()()x x x x 5713化简得832x =-解得x =-4经检验：x =-4是原方程的根。

说明:解分式方程时，在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法，减少繁琐计算。

5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过３天。

现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。

问规定日期是多少天？分析:设规定日期是ｘ天，则甲的工作效率为1x ,乙的工作效率为13x +,工作总量为1 解:设规定日期为x 天根据题意，得2113231()x x x x +++-+= 解得x =6经检验x =6是原方程的根答:规定日期是6天。

6． 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y z x y z +--+2的值。

解: 436012702x y z x y z --=++=()()，由（1)（2)解得x zy z ==⎧⎨⎩32 ∴+--+=+--+=x y z x y z z z z z z z 23232243７. (２014•重庆•B 卷•21)先化简,再求值:2344(1)11x x x x x ++--÷++,其中x 是方程12025x x ---=的解。