讲义———分式姓名：分式知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B ≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

知识点七：整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即★★★★（）★★ （） ★（） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）m ，n 均为整数。

科学记数法 若一个数x 是0<x<1的数，则可以表示为n a -10⨯（101＜a ≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定：n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

如0.000000125=71025.1-⨯若一个数x 是x>10的数则可以表示为n a 10⨯（101＜a ≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定：n=比整数部分的数位的个数少1。

如120 000 000=8102.1⨯知识点七分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

（产生增根的过程）⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点八：列分式方程 基本步骤审：仔细审题，找出等量关系。

设：合理设未知数。

列：根据等量关系列出方程（组）。

解：解出方程（组）。

注意检验 验：检验并答题。

计算专练1、化简211()1122x x x x -÷-+-1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．化简求值：212)14(-÷-+-a a a a a ，其中31=a ． 化简：y x y y xy x y x y x y x +-++-÷+-29632222．42232)()()(a bc ab c c b a ÷•- y y x x 1)2(12÷•- 232222)()()(x y xy xy x y y x -•+÷- 22333)]34()2[(ba ab -•x x x -+-++1111112 ； )9(2316212-+-++x xx x ；x x x x x x x 4126)3(446222--+⋅+÷+--231421222+++⋅--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a a a )()(632c a bc a -÷ 222)2(444122x x x x x x x x x -⋅-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---++22221111⎪⎭⎫⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--a a a a a a a )11(2)2(y x y x xy y x y y x x +÷+⋅+++ 222)11(11-+⋅-÷--a a a a a a a 112---a a a 22428a a a -+-÷（a 2-4）·2442a a a -+- 22416842a a a a a ++⋅+- x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--a +b +b a b -22 x y y x y x y x y y x ----+-+2 232323194322---+--+x x x xx (x +1－13-x )÷222-+x x()()33223----⋅b a ba1203122005-⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 231232()()x y x y ----⋅ ()1321212114.32-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯---+-π1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭01311(2)223-⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()23021201432π--⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21321-=---x x x 22121--=--x x x 222-+=+x x x x 12536-=x x1412112-=-++x x x 512552x x x +=-- 311(1)(2)x x x x -=--+分式典型题1、代数式11,,0,2,4,1222++-++-x x b a b a a y x x 中，是整式的有_____________，是分式的有_____________.2、若M =1)2)(1(2--+x x x ,则当x ________时，M 有意义；当x =________时，M =0；当x =________时，M =4.3、当x ________时，分式xx -52的值为正数.4、在正数范围内定义一种运算*，其规则为a *b =ba 11+，则x *(x +1)=________. 5、不论x 取何值时，下列分式总有意义的是（ ）A.21xx -B.22)2(+x x C.2+x x D.22+x x6、若x 2－9=0,则分式3652-+-x x x 的值为（ ）A.1B.－5C.1或－5D.57、若分式mm m --21||的值为零，则m 取值为( ) A.m =±1 B.m =－1 C.m =1 D.m 的值不存在 8、每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.yx mynx ++元B.y x my mx ++元 C.yx nm ++元D.21(nym x +)元 9、如果把分式yx x23-中的x 、y 的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a 个，甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中m ≠n ），设甲每天做x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（ ）A.n m am -、n m an - B. n m an -、n m am - C.n m am +、nm an+ D.m n am -、mn an- 11、下列各式中，是分式的是( )A.2-πxB.31x 2C.312-+x x D.21x 12、当a 为任何实数时，下列分式中一定有意义的一个是( )A.21aa +B.11+aC.112++a a D.112++a a13、当m ______时，关于x 的方程323-+=-x m x x 有增根；若关于x 的方程=无解，则m=14、已知(0)234x y zx ==≠，求分式233233x y z x y z +--+的值。

15、已知311=-y x ，求yxy x yxy x ---+55的值.16、若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 已知关于x 的分式方程=1的解是非正数，求a 的取值范围.17、已知a 2+3a +1=0,求（1）a +a 1; （2）a 2+21a ; （3）a 4+41a18、已知a 、b 、c 均不为0，且a+2b 32537b c c a --==,求223c bb a -+的值。

19、已知210253a a b ++=--，求代数式()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--÷+-g 的值20、若0,0x y z xyz ++=≠，求x y zy z z x x y+++++的值。

21、已知115(),a b a b+=≠求()()a b b a b a a b ---的值22、化简：43223323322232a a b a b ab a ab a b ab a b a b b +----++-23、计算：（巧算）12212112x x x x -+---++ 23541243x x x x x x x x ++---+-++--1111(1)(1)(2)(2013)(2014)x x x x x x x ---+++++…－24、已知x 为正整数，且222218339x x x x ++++--也为正整数，求所有符合条件的x 的值。