高中数学 第6课时函数的单调性（1）（教师版） 苏教
版
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学习要求
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证
明一些简单函数在某个区间上的
单调性； 3．提高观察、抽象的能力．； 自学评价
1．单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为
A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，
2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那
么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为
A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，
2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >，
那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减
函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂）
12x x < ；
（2） 比较12(),()f x f x 大小 ；
(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增
（或减）函数＂ .
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间：
例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）2
2y x =-+； （2）1
y x
=； （3）21, 0
()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩
．
【解】
（图略）
（１）函数2
2y x =-+的单调增区间为
(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞；
（２）函数1
y x
=
在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和
(0,)+∞．
（３）函数21, 0
()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩
在实数集R
上是减函数；
二．证明函数的单调性：
例2：求证：函数f(x)= －x 3
+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数 证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f(x 1) －f(x 2)=
－x 13+1+x 23
－1
=(x 2－x 1)(x 22+x 1x 2+x 12
)
因为x 2>x 1，x 22+x 1x 2+x 12
>0 所以f(x 1) －f(x 2)>0即 f(x 1)>f(x 2)
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减
追踪训练一
1. 函数1
1
1--
=x y (C) ()A 在(1,)-+∞内单调递增 ()B 在(1,)-+∞内单调递减
()C 在(1,)+∞内单调递增
()D 在(1,)+∞内单调递减
2. 函数822+--=
x x y 的单调增区间
为 (4,1)--．. 3. 求证：1
()f x x x
=+在区间(0,1)上是减函数．
证明：设1201x x <<<，则
21120,01x x x x -><<
∴21()()f x f x -
2121
2121
21
2112122112
11()()11
()(
)()
()(1)
()0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+
-+=-+--=---=-<
即21()()f x f x < 故1
()f x x x
=+
在区间(0,1)上是减函数．
【选修延伸】
如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集：
例３: 函数1
y x
=
在其定义域(,0)(0,)-∞+∞上是减函数吗？
分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行说明，如果要说明这个命题是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如果要说明这个命题是假命题，我们只要举一组不满足定义的
12,x x ，并加以说明．
【解】
该命题是假命题；例如121,1x x =-=时，
12()1,()1f x f x =-=，显然12x x <且12()()f x f x <，所以＂函数1
y x
=
在其定义域(,0)
(0,)-∞+∞上是减函数＂是不成立
的．
点评:
1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域； 2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：
一、利用图像写函数的单调区间？
我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．
追踪训练
1．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是
（B ）
听课随笔
A (]
B [)
C (]
D [)
．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞3
43
4
3
43
4
2. 若函数()f x 是R 上的增函数，对于实数
,a b ，若0a b +>，则有(A )
()A ()()()()f a f b f a f b +>-+- ()B ()()()()f a f b f a f b +<-+- ()C ()()()()f a f b f a f b ->--- ()D ()()()()f a f b f a f b -<---
3. 函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是
[2,0]-，则f(x)的单调递减区间是
__[1,1]-______．
4. 函数y=⎩⎨⎧<--≥+0
10
1，x x ，x x 的单调减区间为
(－∞，0).
5．讨论函数21)(++=
x ax x f )2
1
(≠a 在),2(+∞-上的单调性.
解：1
()2
ax f x x +=
+ 2122
1212
ax a a x a x ++-=
+-=+
+
设122x x -<<，则
2121(2)(2)0,0x x x x -->->
∴21()()f x f x -
211221121222
()(12)
(2)(2)
a a
x x x x a x x --=
-
---=---
∵
1221()
0(2)(2)
x x x x -<--
当1
2
a <
时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f )2
1(≠a 在
),2(+∞-上是单调减函数；
当1
2
a >
时，21()()f x f x >，此时函数
21)(++=
x ax x f )2
1
(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数；
【师生互动】
听课随笔。