函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数.证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x 在（0，＋∞）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。

证明：在定义域M 内任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则：g （x 1）－g （x 2）＝1＋2f （x 1） －1－2f （x 2）＝2f （x 1） －2f （x 2） ＝2[f （x 2）－f （x 1）]f （x 1）f （x 2）∵对于任意x ∈M ，有f （x ）＞0 ∴ f （x 1）f （x 2）＞0∵f （x ）在其定义域M 内为减函数， ∴f （x 1）＞f （x 2）∴g （x 1）－g （x 2）＜0 即g （x 1）＜g （x 2）∴g （x ）在M 内为增函数［例2］函数f （x ）在（0，＋∞）上是减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34 ）的大小关系?解：∵f （x ）在（0，＋∞）上是减函数∵a 2－a ＋1＝（a －12 ）2＋34 ≥34 ＞0∴f （a 2－a ＋1）≤f （34 ）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.［例3］已知函数f （x ）＝a x ＋1x ＋2在区间（－2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围。

解：在区间（－2，+∞）内任取x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，则：f （x 1）－f （x 2）＝a x 1＋1x 1＋2 －a x 2＋1x 2＋2 ＝（2a －1）（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）∵ f （x 1）＜f （x 2） ∴（2a －1）（x 1－x 2）＜0 而x 1＜x 2∴必须2a －1＞0 即a ＞12［例4］已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a 的取值范围。

解：∵顶点横坐标为a ，且开口向上 ∴a ≥1［例5］写出函数f （x ）＝x 2－2x －3 的单调区间。

解：∵t ＝x 2－2x －3≥0 ∴x ≤－1或x ≥3当x ∈（－∞，－1]时：x 递增，t 递减，f （x ）递减当x ∈[3，+∞）时：x 递增，t 递增，f （x ）递增∴当x ∈（－∞，－1]时，f （x ）是减函数；当x ∈[3，+∞）时，f （x ）是增函数.［例6］判断函数f （x ）＝1x 2－4x的增减情况。

解：设t ＝x 2－4x ，则t ≥－4且t ≠0 y ＝1t当t ∈[－4，0]时，y ＝1t 递减；当t ∈[0，+∞）时，y ＝1t 递减.又当x ∈[0，4]时，t ∈[－4，0]当x ∈（－∞，0）或x ∈（4，+∞）时，t ∈[0，+∞）∴当x ∈（－∞，0）时，x 递增，t 递减，y 递增当x ∈[0，2]时，x 递增，t 递减，y 递增当x ∈（2，4]时，x 递增，t 递增，y 递减当x ∈（4，+∞）时，x 递增，t 递增，y 递减∴当x ∈（－∞，0）∪[0，2]时，f （x ）是增函数当x ∈（2，4]∪（4，+∞）时，f （x ）是减函数［例7］已知f (x )的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （2）＝1，试解不等式f （x ）－f （x －2）＞3.解：由f （2）＝1及f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）可得3f （2）＝3＝f （2）＋f （2）＋f （2）＝f （4）＋f （2）＝f （8）∴f （x ）－f （x －2）＞3 ∴f （x ）＞f （x －2）＋3＝f （x －2）＋f （8）＝f [8（x －2）] 又函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是增函数∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x －2＞0x ＞8（x －2）即2＜x ＜167 评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.［例8］设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x ）＝－f （x ）；（3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数.证明：（1）令a ＝b ＝1，则：f （1）＝f （1）＋f （1） ∴ f （1）＝0（2）令a ＝x ，b ＝1x ，则：f （1）＝f （x ）＋ f （ 1x ） ∴ f （ 1x ）＝－f （x ）（3）令1＜x 1＜x 2，则：－f （x 1）＋f （x 2）＝f （x 2）＋f （ 1x 1）＝f （ x 2x 1 ） ∵1＜x 1＜x 2 ∴x 2x 1 ＞1∴f （ x 2x 1 ）＜0 即f （x 1）＞f （x 2）∴ f （x ）在（1，+∞）上是减函数.。